topologie de l'ensemble des séries absolument convergentes et son bord

[acx01b]

Bonjour,

Désolé de la question un peu longue et de ne pas avoir trouvé de cours de math qui en parle.

• Si j'ai une suite complexe et que existe alors par abus de langage je dis que la suite est absolument convergente.
• J'appelle l'ensemble des suites absolument convergentes.
• Pour une suite absolument convergente je définis
• Entre deux suites absolument convergentes on peut utiliser la distance (qui est toujours finie) : ce qui implique aussi la notion de voisinage et de continuité et enfin chemin de dans .

Je note la suite paramétrée par .


Pour la suite mais . Donc le bord de .

est bien défini (au sens habituel des séries) mais on sait que selon l'ordre de sommation des termes on peut faire converger la série vers n'importe quelle limite.

Donc si on a un chemin continu de suites de paramétré par tel que alors la limite si elle existe peut avoir n'importe quelle valeur et est une fonction du chemin .

Je trouve que ça ressemble à une histoire de topologie, un peu comme la surface de Riemann en forme de spirale induite par le logarithme complexe qui fait que selon le chemin (à partir de la branche principale) que l'on emprunte on aura ou .

Donc ma question : à quoi ressemble cette topologie sur les suites absolument convergentes ?
Qu'en est-il de la suite ? Est-ce un cas particulier, a-t-on toujours en suivant cette logique ?

Merci
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Donc le bord de .

Pour définir le bord de , il faudrait que soit un sous-espace d'un espace topologique «plus gros», et le bord va dépendre de cet espace.

la limite si elle existe peut avoir n'importe quelle valeur et est une fonction du chemin .

on peut utiliser la distance (qui est toujours finie) :

Pour cette distance, est complet : dans tout espace qui le contient, sera fermé et contiendra son bord. Un chemin, défini sur et à valeurs dans , ne peut pas avoir de limite en 1 qui n'appartienne pas à .

La question est intéressante, mais il me semble que les divers points ne font pas appel à la même topologie sur : le paradoxe me semble être un simple problème de confrontation entre «vérité en deçà des Pyrénées, erreur au-delà».

[invite179e6258]

annulé (élucubration)

[invite8133ced9]

Bonjour,

Pour cette distance, est complet : dans tout espace qui le contient, sera fermé [...]

Ceci sera vrai pour les espaces séquentiels mais pas forcément vrai ailleurs non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

Pour cette distance, est complet : dans tout espace qui le contient, sera fermé et contiendra son bord. Un chemin, défini sur et à valeurs dans , ne peut pas avoir de limite en 1 qui n'appartienne pas à .

La question est intéressante, mais il me semble que les divers points ne font pas appel à la même topologie sur

Oui merci de ta réponse, je comprends qu'implicitement on fait appel à la distance pour dire que donc que l'extrémité du chemin n'appartiendrait pas à .

Par contre pour la distance la limite n'est pas définie (ce n'est pas qu'elle n'appartient pas à c'est juste qu'elle n'est pas définie ?)

[invite57a1e779]

Le truc, c'est que l'on manipule simultanément plusieurs topologies et qu'il faut bien voir à chaque étape de quoi on parle.

Tu disposes d'un premier ensemble, celui des suites bornées à valeurs complexes. Algébriquement, c'est un -espace vectoriel de dimension infinie ; on peut le normer par : et on obtient un sympathique espace de Banach, traditionnellement noté .

Là-dedans, on peut considérer le sous-ensemble des séries absolument convergentes, qui en est un sous-espace vectoriel de dimension infinie, et qui hérite de la topologie de ; je noterai ce sous-espace topologique.

Par ailleurs, on peut normer l'espace vectoriel par : et on obtient un sympathique espace de Banach, traditionnellement noté . En tant que tel, n'est pas un sous-espace topologique de .

La suite appartient à pour , mais pas pour . Toutefois la suite est bornée.

Au sens de la topologie de , tend vers quand tend vers 1, ce qui prouve au passage que n'est pas fermé dans .

Au sens de la topologie de , n'a pas de limite quand tend vers 1.

En ce qui concerne : du point de vue algébrique, c'est une forme linéaire définie sur l'espace vectoriel .

Pour la topologie de , cette forme linéaire est continue ; a une limite quand tend vers 1 bien que n'en ai pas : ce sont des choses qui arrivent.

Pour la topologie de , cette forme linéaire est discontinue sur ; et ont des limites quand tend vers 1 bien que ne soit pas défini : ce sont encore des choses qui arrivent.

On peut profiter de cet état de fait pour essayer de prolonger la forme linéaire à un espace contenant strictement : c'est le principe des «procédés sommatoires» (Cesàro, Abel, Lindelöf, Borel, ...).

Par contre tout ceci n'a rien à voir avec la non commutativité de la convergence d'une série semi-convergente : la suite a pour limite, dans , la suite de terme général elle-même et non une de ses permutations.

[acx01b]

Par contre tout ceci n'a rien à voir avec la non commutativité de la convergence d'une série semi-convergente : la suite a pour limite, dans , la suite de terme général elle-même et non une de ses permutations.

Merci ! Je réponds juste à ça, le reste étant un peu plus compliqué/profond il me faudra le temps de l'approfondir.

Je considère des suites du type où est une permutation des indices.

Quand je suis dans et est une fonction de la permutation et selon peut prendre n'importe quelle valeur dans

[invite57a1e779]

Le gros problème reste que la forme linéaire n'est pas continue pour la norme de , même si l'on reste dans .

On définit par : si et sinon.

Alors appartient à avec : et .

La suite converge vers la suite nulle dans alors que diverge vers .

La suite diverge dans et sa norme tend vers .