Théorème de Cauchy-Lipschitz global et ED autonome

[HNoob]

Bonjour à tous,

J'ai quelques difficultés pour débuter sur l'étude des équations différentielles.
Voici deux questions vraiment "raz des pâquerettes", mais merci d'avance si vous pouvez répondre, ça m'aiderait bien ! :

1/ Je ne comprends pas vraiment ce qu'est une équation différentielle autonome.
Par exemple, si je considère : avec les CI et :
Je définis puis et enfin . J'ai bien une équation du type Y'=f(Y) et donc une équation différentielle autonome non ? "Mèzalor", c'est quoi une ED qui n'est PAS autonome ??

2/ Je ne comprends pas non plus le théorème de Cauchy-Lipschitz dans sa version "globale".
Je prends l'exemple que j'ai dans mon bouquin : avec , dont la solution n'est pas définie au delà de . Jusque là, OK !
Je copie/colle ici le th de C.L. global :
Si f est lipschitzienne par rapport à la deuxième variable (localement par rapport à la première seulement), alors toute solution maximale de est globale.
Qu'est-ce qui bugge dans ce raisonnement : je prends pour I l'intervalle ouvert ]-10,10[ et pour E l'intervalle ouvert ]-10,10[ également. Le point (t0,y0)=(0,1) est bien dans mon ensemble , f est définie sur , lipschitzienne (localement et globalement par rapport à mes deux variables), j'ai donc tout ce qu'il faut pour dire que la solution sera globale sur , non ? et donc que la solution s'étendra jusqu'à t=10. Or, ce n'est pas le cas, mais je ne comprends pas quelle hypothèse du théorème n'est pas vérifiée.

Merci de votre aide !
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[HNoob]

Désolé, il y a une petite coquille dans ma question 1/ :
il faut lire au lieu de ...