démonstration(s) de la transformée de Fourier d'une gaussienne

[acx01b]

Bonjour, quelles sont les autres façons de trouver la transformée de Fourier d'une gaussienne ?

Je pense que celle-ci est assez claire : elle utilise la notion de prolongement analytique pour montrer que la TF d'une gaussienne est une gaussienne, puis l'égalité de Parseval pour retrouver la constante .


est un réel :







avec étendu aux complexes, est clairement une fonction entière donc par prolongement analytique :



La TF d'une gaussienne est donc une gaussienne.


Ensuite pour trouver la constante, l'égalité de Parseval donne :



par changement de variable :


donc
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[inviteea028771]

Une façon assez sympathique :

Si on note g la gaussienne, alors



Si on passe tout en Fourier, on trouve





Et on reconnait l'edo de départ que vérifie la gaussienne



Et pour K, on peut calculer directement

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Oui, c'est très classe de passer par l'équa diff mais je pense que c'est aussi la démonstration la moins élémentaire qu'on puisse trouver, non ? Par contre pour le K je n'ai pas compris comment tu fais.

[inviteea028771]

Oui, c'est très classe de passer par l'équa diff mais je pense que c'est aussi la démonstration la moins élémentaire qu'on puisse trouver, non ? Par contre pour le K je n'ai pas compris comment tu fais.

Pour déterminer le K, c'est assez simple :

D'un coté on a par résolution de l'equa diff,
De l'autre on a par définition de la transformée de Fourier,


Et j'ai considéré que cette dernière intégrale était connue (car ultra-classique)

Après, ça reste une démonstration assez "élémentaire", dans le sens ou on n'utilise que la propriété sur la dérivation. Elle demande par contre un peu d'astuce pour penser à poser l'equa diff

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

Ok ! Non justement la constante m'intéresse aussi. Regarde mon premier message, en deux lignes j'ai la TF d'une gaussienne mais j'ai
donc je dois faire 4 lignes de plus pour avoir sa valeur

Je crois me rappeler qu'il y a des intégrales à paramètres qui permettent de retrouver ces deux résultats plus ou moins d'un coup :

1. que la TF d'une gaussienne est une gaussienne
2. que la constante multiplicative est

[acx01b]

Après, ça reste une démonstration assez "élémentaire", dans le sens ou on n'utilise que la propriété sur la dérivation. Elle demande par contre un peu d'astuce pour penser à poser l'equa diff

Donc pour trouver la TF de la gaussienne (simple intégrale à calculer) on utilise des propriétés non élémentaires des équa diffs non linéaires et de la TF.