Quels livres qui suivent les niveaux d'abstraction?

[invitefbde31ad]

Au XIXème siècle certains lycéens, voire collégiens, lisaient encore des livres de mathématiques (je pense à Evariste Galois notamment). Des livres, des vrais, pas des manuels. Lagrange, Legendre, Gauss semblant accessibles à ces derniers. En tenant compte du fait que le niveau a baissé en moyenne (tous les professeurs le disent) en capacité brute (oui, car tous disent aussi que nous sommes plus éveillés aux "choses").

Je lis des oeuvres de ces illustres mathématiciens, mais je ne prétend aucunement m'élever à quelconque niveau. Je le fais parce que c'est en apprenant ainsi que je me plais à étudier, et malheureusement, il semble que ça soit l'unique façon pour moi d'apprendre "sérieusement" (du moins dans un premier temps).

Bref, longue introduction pour motiver cette question :
quel ordre de livres me conseilleriez-vous pour remonter petit à petit les niveaux d'abstraction des mathématiques? Tellement de mathématiciens sont célèbres pour leurs travaux, et il est difficile de voir ceux qui sont accessibles à un élève de Maths Sup. Je souhaite seulement avoir un aperçu de ce qui est possible de commencer par étudier, et de ce qui est "impossible" d'aborder pour un étudiant de mon niveau.

(il est présomptueux d'avoir déjà choisi une voie à mon stade, mais j'ai une préférence pour la théorie des nombres, l'analyse, et l'algèbre linéaire)

(j'étais curieux des travaux d'Abel, de Riemann, Cauchy, Euler, Galois, par exemple)
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[Makalu]

Bonjour,

Je pense que les lectures sont très personnelles. Tout dépend de la façon dont tu appréhendes les mathématiques.

[invitefbde31ad]

Merci pour ta réponse. C'est ce qu'il me semble aussi.

Cela dit, j'ai peur de perdre mon temps en étudiant un livre qui me demande de fouiller dans des tas d'autres livres, alors que j'aurais pu simplement lire deux livres à la suite, qui ont un lien non seulement dans le sens, mais aussi historique.

Cette question paraîtra sans doute naïve, mais je juge qu'un auteur (c'est un préjugé) publie uniquement à un certain stade, et donc soit ses travaux sont accessibles, soit ils sont réservés à une sphère de mathématiciens. Ma question est donc : y'a-t-il des mathématiciens qui ont publié à tous les "niveaux"?

[GrisBleu]

Hello

Ca pourrait t interesser peut etre. S. Hawking a editer une traduction (je les ai en anglais, ca se trouve peut etre en francais) de textes fameux de scientifiques
- en physique : les meilleurs textes de Kepler, Copernic, Gallilee, Newton et Einstein dans "On the shoulders of giants "http://www.amazon.ca/exec/obidos/ASIN/0762413484/ref%3Dbr%5Fbh%5Fts%5F2/701-9085356-7998727
- en maths (je ne l ai pas achete mais juste feuillete） : une selection des travaux de pleins de gens connus dans "Gods created the integres" http://www.amazon.com/gp/product/076...Fencoding=UTF8

J ai trouve ca interessant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefbde31ad]

Oui justement, j'ai l'édition française d'un abrégé de "Sur les épaules des géants" (qui s'intitule "A l'image des géants"). Je pense que c'est un bon aperçu chronologique des théories qui ont eu un impact sur le bon sens. Mais cela est pour la physique.

"God created the integers" m'a l'air intéressant! Il ne m'a pas l'air avoir été traduit aussi... Mais ce n'est pas très grave.

Justement, je pense qu'une possibilité est de lire plusieurs ouvrages de vulgarisations pour avoir une idée de la construction mathématique. Avez-vous des références?

(si je parle de vulgarisation, ce topic aura peut-être plus sa place dans "lectures scientifiques"...)

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je ne pense pas qe ce soit vraiment une bonne idée. En tout cas pas maintenant. Les découvertes mathématiques mettent souvent un certain temps a obtenir une définition correcte, et les concepts n'ont été formalisés que très récemment. Ainsi, quand Weierstrass a exhibé une fonction continue nulle part dérivable, Cauchy, qui n'est quand même pas n'importe qui, ne l'a même pas regardé, considérant qu'une fonction continue était forcément dérivable ?!!
Même les plus grands manquent souvent de rigueur.

En fait, si tu veux vraiment une construction rigoureuse, je te recommande de lire des livres récents, reconnus comme références. Par exemple, pour l'analyse, je te recommande les Rudin (le premier à lire est Principe d'Analyse), pour la logique, le Cori Lascar, pour l'arithmétique, tu peux toujours commencer avec le Demazure Cours d'arithmétique, etc...
Liste à compléter par ton niveau, tes intérêts, les livres que tu as sous la main !

PS : J'ai un copain qui a fait un stage de DEA, ou il s'agissait de comprendre un article d'un mec très fort du MIT. En fait, l'article était extrémement peu clair, son directeur ne l'a pas compris non plus, alors il est parti le voir là bas. En trois mois, avec le mec en question, ils n'ont pu clarifier que la première partie de l'article... Tu vois, je ne pense pas que ce genre d'"imprécisions" te serve à ta construction mathématique personnelle. (J'aime bien croire que chacun a sa perception propre des maths...)

__
rvz

[invitefbde31ad]

Ta réponse est intéressante rvz. Cela prend le problème d'un angle radicalement différent cependant : ton approche est en amont, la mienne en aval.

Je crains bien sûr de me noyer dans les anciens siècles (car avant tout, ce sont les auteurs qui datent d'avant le XXème siècle qu'il me tente d'étudier) et de ressortir avec un vocabulaire désuet. Je crains aussi que les "manuels" récents ne fassent toujours et encore (mais c'est ce qu'on leur demande après tout...) que de "synthétiser", là où je cherche de "l'analyse".

Peut-on m'assurer que ce Walter Rudin, "grand mathématicien" (et "grand pédagogue", comme il est fiché) sait mieux que les anciens ce dont il parle? (je suis vraiment face à un dilemne là)

[invitefbde31ad]

(Et tu fais bien d'appeler le problème, non intuitif, de la dérivation! Car dans les manuels on dérive, on dérive, mais on ne sait pas pourquoi ça marche...)

[invite986312212]

[QUOTE=Metame]En tenant compte du fait que le niveau a baissé en moyenne (tous les professeurs le disent) [QUOTE]

il semble que depuis la nuit des temps chaque génération d'enseignants se plaigne de la baisse du niveau des étudiants...

Espérer tirer profit de la lecture des travaux des mathématiciens contemporains est illusoire. Par contre, lire les grands mathématiciens du passé, ou encore lire des textes de vulgarisation des mathématiciens d'aujourd'hui est une bonne idée.

Dans la première catégorie, j'avais lu quand j'étais en math sup le petit livre de Richard Dedekind "was sind und was sollen die Zahlen". Un bel exemple de développement logique où rien n'est laissé dans l'ombre.

Dans la seconde catégorie, j'ai lu ces derniers temps les textes de conférences données à l'université de Bordeaux par divers mathématiciens. C'est "lecons de mathématiques d'aujourd'hui" et c'est publié par Cassini. Il me semble que ça donne une idée de ce que c'est que faire de la recherche en maths, chose qu'on n'apprend pas au lycée et guère plus dans les premiers cycles de l'université.

[invitec314d025]

Car dans les manuels on dérive, on dérive, mais on ne sait pas pourquoi ça marche...

Je n'ai jamais eu cette impression.
Et justement ça ne me paraît pas du tout être la meilleure idée d'aborder la question en commençant par étudier les méandres, polémiques, etc, qui constituent l'histoire du calcul différentiel. Les travaux ultérieurs ont permis de clarifier la question, de dégager des outils efficaces et synthétiques qui permettent de mieux comprendre où se situent les difficultés réelles que ne pouvaient le faire les mathématiciens de l'époque.
Et on pourrait dire la même chose pour beaucoup de domaines, de l'algèbre à la topologie, etc.

Pour moi la démarche la plus intéressante est la démarche inverse: revenir sur les textes anciens une fois que l'on maîtrise à peu près le sujet.

[invite6b1e2c2e]

Ta réponse est intéressante rvz. Cela prend le problème d'un angle radicalement différent cependant : ton approche est en amont, la mienne en aval.

Merci beaucoup.

Je crains aussi que les "manuels" récents ne fassent toujours et encore (mais c'est ce qu'on leur demande après tout...) que de "synthétiser", là où je cherche de "l'analyse".

Peut-on m'assurer que ce Walter Rudin, "grand mathématicien" (et "grand pédagogue", comme il est fiché) sait mieux que les anciens ce dont il parle? (je suis vraiment face à un dilemne là)

Ca dépend ce que tu recherches. J'avoue que ce que j'aime, c'est avoir une construction, propre et claire, des objets avec lesquels je travaille. Et ça, tu ne le trouveras que dans des livres récents. Maintenant, Walter Rudin sait-il de quoi il parle ? Honnetement, je n'en sais rien, mais ses livres sont très très clairs. C'est un chercheur en analyse, donc il doit être compétent, au moins au niveau où il se place. Pareil pour les autres. Peu importe après tout qu'ils en sachent plus ou moins que d'autres, qu'ils n'en ont pas la même intuition ou whatever, l'essentiel, c'est qu'ils te donnent des connaissances claires, et une approche plus ou moins intuitive.

De toute façon, quand tu fais des maths, tu ne peux pas tout connaître, et chaque problème peut avoir plein d'approches différentes, quelquefois complémentaires. Il est intéressant de les connaître toutes, mais c'est totalement infaisable !Alors, tu te limites forcément à l'une ou l'autre...

__
rvz

[invite6de5f0ac]

Salut,

Je pense que des livres comme Rudin ne sont pas des "lectures" à proprement parler, mais des manuels... ce qui n'empêche pas de les lire!

Personnellement (et j'insiste sur ce mot) j'aime bien lire des manuels de niveau assez élémentaire, pour avoir une idée claire du formalisme, avant d'aborder les aspects plus généraux et/ou plus compliqués. Le derner exemple qui me vient à l'esprit est la théorie des catégories: une petite introduction "naïve" est facile à trouver, et très claire, peut-être même un peu trop au ras des pâquerettes.
Makheureusement, ce genre de bouquins est difficile à trouver en français -- les américains, eux, n'ont pas de scrupules à rédiger des "Introduction to XXX Teory", lisibles par n'importe quel étudiant post-bac (c'est-à-dire à bac + epsilon, typiquement math sup).

En parallèle, je lis des bouquins de "vulgarisation", où le formalisme n'est pas détaillé, mais où il y a de "bonnes" illustrations, du moins si on reste conscient que ça masque facilement la réelle complexité des choses. De ce côté, les articles de La Recherche ou Pour la Science sont souvent très bien faits.

En mélangeant les deux, j'arrive à avoir une vision claire, sans perdre le côté intuitif, mais en respectant la rigueur. Et c'est particulièrement utile pour comrendre le vocabulaire utilisé... On ne peut pas vraiment comprendre ce qu'est une section d'un fibré vectoriel au-dessus d'un ouvrt de R^n si on n'est pas habitué à la manière "standard" de faire le dessin!

Cela dit, je me répète, à chacun de doser le mélange suivant ses goûts et ses capacités.

-- françois

P.S. - les "vieux" auteurs (Lagrange, Laplace, Cauchy...) écrivaient en style discursif, beaucoup plus abordable en apparence: ils n'avaient pas tout l'arsenal symboliqe dont les auteurs "modernes" tendent à abuser aujourd'hui. Ah, Bourbaki, quels dégâts tu as pu causer! (sans le vouloir, je veux croire).

[invitefbde31ad]

"Alors, tu te limites forcément à l'une ou l'autre..."

Justement, j'aimerais me "limiter" à celle qui a poussé l'auteur à construire sa conception ainsi. Car ce dont je manque assez, à part l'entendement, c'est de la réelle approche des objets mathématiques.

Par "réelle approche", j'entends que, passé un certains nombres d'abstractions, on ne sait plus de quelle idée primitive vient la "théorie". Alors bien que les approches qu'on nous dicte par la suite sont "efficaces" (sous-entendu qu'elles aboutissent à des résultats corrects), j'ai l'impression qu'elles sont parfois loin de l'idée initiale.

[invitefbde31ad]

les américains, eux, n'ont pas de scrupules à rédiger des "Introduction to XXX Teory", lisibles par n'importe quel étudiant post-bac (c'est-à-dire à bac + epsilon, typiquement math sup)

Lol, d'ailleurs, j'ai succombé aux "énigmes mathématiques du 3ème millénaire" de keith J. Devlin, et je ne regrette pas (d'ailleurs, le Clay institute n'a pas publié d'oeuvres qui expliquent, à quelque niveau que ce soit, ces problèmes).

les "vieux" auteurs (Lagrange, Laplace, Cauchy...) écrivaient en style discursif, beaucoup plus abordable en apparence

Oui, c'est justement un des aspects qui m'intéressent. Non, ce n'est pas seulement par manque de persévérance que j'évite les formalismes, c'est surtout que le "discours" sur le "texte brut" aide beaucoup à se faire une idée (une image même) du problème.

Ah, Bourbaki, quels dégâts tu as pu causer! (sans le vouloir, je veux croire)

Les Eléments de Mathématique sont si illisibles que ça??

[invite6b1e2c2e]

Je comprends tout à fait ça, hein ! Mais je ne le fais pas, ça ne me plait pas. C'est tout. C'est vrai que je ne saurai pas trop expliquer pourquoi en fait. Mais quand je vois des démonstrations où on te pose comme triviales dans une longue phrase des trucs qu'ils ne le sont pas, en général, ça m'énerve un peu. Mais, après tout, comme le disait Makalu un peu plus haut, ça dépend surtout de toi.

PS : C'est rigolo, en ce moment, j'arrête pas d'être 100 % d'accord avec Matthias, y compris sur des sujets pas vraiment mathématiques ...

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rvz

[invite6b1e2c2e]

Les Eléments de Mathématique sont si illisibles que ça??

Tu n'as pas idée ! C'est totalement atroce. Le cadre est tellement général que tu n'as aucune intuition de ce que tu fais (enfin, si tu n'as jamais vu les notions présentées). En gros, ça fait surtout le point sur une construction profonde et rigoureuse des mathématiques, mais personne ne les lit vraiment. (Enfin, si quelqu'un les a lus, je l'admire vraiment ...)

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rvz

[invitefbde31ad]

Oui... Quand on m'en parle, "on" n'a pas lu beaucoup des 40 volumes des Elements. J'en déduis que c'est effectivement atroce. Heureusement, l'envie ne me prenait pas de m'aventurer chez les Bourbakis.

[invitec314d025]

Alors bien que les approches qu'on nous dicte par la suite sont "efficaces" (sous-entendu qu'elles aboutissent à des résultats corrects), j'ai l'impression qu'elles sont parfois loin de l'idée initiale.

Rarement de l'idée initiale, mais plus souvent des idées initiales de différents mathématiciens qui plus est. En mathématiques, "efficace" signifie souvent débarrassé du contexte initial en effet, mais c'est loin d'être quelque chose de négatif, ça permet de faire des liens entre différents domaines et donc d'amener une meilleure compréhension. C'est très clair en algèbre notamment où la notion de groupe a permis de mettre en évidence une structure indépendamment des objets.
Ca ne signifie évidemment pas qu'il ne faut pas faire de retour en arrière, aller regarder comment et pourquoi est née telle ou telle théorie, je pense même qu'il faut le faire le plus tôt possible, mais avec un minimum de recul.

justement, j'aimerais me "limiter" à celle qui a poussé l'auteur à construire sa conception ainsi. Car ce dont je manque assez, à part l'entendement, c'est de la réelle approche des objets mathématiques.

Mais pourquoi se limiter ? L'approche historique est certes très intéressante mais n'a rien de plus réel qu'une autre.

[invitefbde31ad]

Il me semble que tu aies raison. Dans mon enthousiasme j'ai voulu faire table rase et me contenter de peu par rapport à l'offre. C'était vider son panier de pommes pourries pour ne le remplir que d'un maigre repas.

Mais heureusement c'est loin de clore le débat, puisque les (comme tu as bien fait de le préciser) idées initiales sont pour moi indispensables parmi toutes les autres visions. Cela me mène alors juste à prendre un concept, de faire une recherche sur son histoire, et remonter le fil calmement (ou nerveusement), et de le compléter par ce qu'offrent de bons manuels.

Et pourtant quelque chose me chagrine dans tout ça, mais je ne sais pas quoi.

[invite986312212]

Justement, j'aimerais me "limiter" à celle qui a poussé l'auteur à construire sa conception ainsi

il faut savoir que les créateurs eux-mêmes n'aiment pas toujours dévoiler le cheminement de leur pensée. J'ai lu quelque-part à propos de Gauss qu'il était "comme le renard qui efface ses traces avec sa queue".

[invitefbde31ad]

J'ai réfléchi un peu et j'ai une autre interrogation :

Par exemple, pour l'analyse, je te recommande les Rudin (le premier à lire est Principe d'Analyse), pour la logique, le Cori Lascar, pour l'arithmétique, tu peux toujours commencer avec le Demazure Cours d'arithmétique, etc...

En quoi l'approche de tels manuels (je parle surtout pour le premier, le Rudin, puisque celui de Cori et Lascar sur la logique est très ciblé) est-elle différente d'une approche d'un manuel basique de prépa Maths Sup (le mien, jamais servi ou presque : Analyse PCSI)

[invitec314d025]

Les manuels se référant explicitement à une année d'étude ont le gros défaut d'être trop dépendants d'un programme et de passer sous silence tous les points intéressants (enfin la plupart) qui n'en font pas partie.
Aucun manuel ne peut traiter un sujet de manière exhaustive, mais on trouve généralement une plus grande cohérence et une approche plus intéressante quand l'auteur a réellement choisi les points qu'il allait aborder et l'ordre dans lequel il allait le faire.

[invitefbde31ad]

Merci bien, et si j'ose quantifier la chose, disons que la mise en place du "contexte" (j'entends par là les éléments qu'on ne retrouve pas dans un manuel respectant un programme à la lettre, même si j'ai bien conséquence que de tels éléments doivent être distillés dans tout l'ouvrage) prend, quoi, dix pages? Ou un partie vraiment conséquente du livre (et alors ça devient intéressant)?

[Makalu]

Bonjour,

Pour moi la démarche la plus intéressante est la démarche inverse: revenir sur les textes anciens une fois que l'on maîtrise à peu près le sujet.

Oui je pense aussi qu'on apprécie plus un texte avec du recul que ce soit en math ou en physique. J'en profite pour signaler un site de numérisation d'articles de math librement accessibles : http://www.numdam.org

[invitefbde31ad]

Intéressant. Je connaissais Gallica, grâce auquel j'ai pu en partie faire un choix d'ouvrages

[invite6de5f0ac]

Les Eléments de Mathématique sont si illisibles que ça??

Oui. Et même pire.

Un exemple tiré de Groupes et Algèbres de Lie, (chap. V, §1, n°1.5, page 63):
Soient H et H' deux hyperplans distincts dans E, et f, f' deux fonctions affines sur E telles que H (resp. H') se compose des points a de E tels que f(a) = 0 (resp. f'(a) = 0).

Moi, j'aurais dit "soient H et H' deux hyperplans distincts, d'équations respectives f(x) = 0, f'(x) = 0", ou peut-être plus proprement, "soient H et H' deux hyperplans distincts, noyaux respectifs de fonctions affines f et f'"...

Mais les Éléments de Mathématique (au singulier!!!) ne sont pas faits pour être lus, mais consultés pour référence. À mon avis, en tout cas...

-- françois

[invitefbde31ad]

D'accord. C'est justement le genre d'énoncés tortueux qui ont le don de calmer mon enthousiasme.

[invite986312212]

Les Eléments de Mathématique sont si illisibles que ça??

Ce traité, comme d'autres exposés axiomatiques, n'est pas fait pour qu'on y apprenne des mathématiques, c'est un ouvrage de référence.

Quand j'étais en math-sup, j'ai essayé de lire le cours de topologie algébrique d'Artin et Braun (Artin est un des grands mathématiciens du XXème siècle). Le problème c'est que ça commence par des pages et des pages de propositions sur diverses constructions avec des morphismes de modules. Ce n'est pas très difficile mais très abstrait et surtout je ne voyais pas du tout le lien avec la topologie: pourquoi on employait les termes de "cycles" et de "bords" par exemple. Bref, je me suis découragé. C'est grâce à un bouquin sans prétentions, qui commence par des choses "palpables" (l'homologie simpliciale) que j'ai pu apprendre quelque-chose dans ce domaine.

[invitefbde31ad]

Justement Ambrioso, la nature abstraite des mathématiques avancées empêche le néophyte de s'exciter dessus. A moins qu'il ait commencé par des ouvrages qui ont provoqué la réflexion (ou du moins qui pose les bases du niveau d'abstraction en dessous), ce qui est le sujet de cette discussion

[inviteeac53e14]

Justement Ambrioso, la nature abstraite des mathématiques avancées empêche le néophyte de s'exciter dessus.

Moi, au contraire, j'apprécie beaucoup ce côté abstrait. J'avoue d'ailleurs que ça m'énerve franchement quand je lis une définition dans un bouquin et que je me rends compte dans un autre livre qu'en fait ce n'était que la définition d'un cas très particulier, et que le concept est beaucoup plus général que ça. En fait, j'aime bien partir de concepts très larges et affiner après dans des cas particuliers (en faisant des exercices par exemple). Je pense que connaître le cas général d'un concept permet de prendre suffisament de recul pour l'étude d'un cas particulier. Pour synthétiser, selon moi si on peut comprendre le principe de la n-cyclette alors on comprendra le cas particulier n=2 (i.e la bicyclette).