Exo de Term - Géométrie dans l'espace

[invitebd97d45d]

Bonjour, je bute sur un exo, apparement un exo de bac, vous pouvez m'aider svp. Alors voici l'exo :

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1. La nombre a désigne un réel strictement positif.

On considère le point M de la demi droite [AE) défini par .

1. Déterminer le volume du tétraède ABDM en fonction de a.

2. Soit K le barycentre du système de points pondérés :
{(M,a²) ; (B,1) ; (D,1) }.
a) Exprimer en fonction de et de .
b) Calculer et puis en déduire l'égalité
c) Démontrer l'égalité .
d) Démontrer que K est l'othocentre du triangle BDM.

3. Démontrer les égalités et . Qu'en déduit-on pour la droite (AK)?

4.a) Montrer que le triangle BDM est isocèle et que son aire est égale à unité d'aire.
b) Déterminer le réel a tel que l'aire du triangle BDM soit égale à 1 unité d'aire. Déterminer la distance AK dans ce cas.

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Mes "débuts" de réponses :

1. base x h





d'où

2.a Soit K bary de {(M,a²) ; (B,1) ; (D,1) }, on a :

.
.
.


2.b) Là ça se complique, je trouve :

et :


Comment avec sa, je peux en déduire l'égalité :
?


Merci de m'aider !
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[invite35452583]

Bonjour,

1) et 2)a) c'est bon.
2)b) utiliser la relation de Chasles, les angles droits et la longueur des arêtes du cube. On aboutit à deux résultats qui sont des fonctions du seul paramètre a.
Ceci fait, la déduction est triviale.
2)c) Même type de calcul ou de préférence utiliser une symétrie évidente.
2)d) Evident vu ce qui suit

3) relation de Chasles+résultats précédents ou utiliser les propriétés de l'orthogonalité entre droites et plans (plus élégant mais ça ne semble pas être le but de l'exercice). La propriété de la droite (AK) est évidente.

4)a) Isocèle : trivial
Calcul d'aire : le triangle n'est pas seulement isocèle.
4)b) Résolution d'équations pour trouver a.
Penser au volume pour calculer AK.

Bref, une fois le calcul du 2)b) mené au bout, le reste de l'exercice ne pose pas de grandes difficultés.

[invitebd97d45d]

2.b) Dsl, mais après de multiples tentativess, j'narrive tjs pas a trouver quelque choses (en kel point utiliser la relation de Chasles svp?)

[invitebd97d45d]

Bon, j'ai réussi à faire jusqu'a la kestion 4.a (avec les coordonnées dans le plan (A, AB, AD, AE), j'crois que c bon aussi.
J'essaie de faire la suite, mais j'ne comprend pas vraiment ce que homotopie a dit :
""Isocèle : trivial
Calcul d'aire : le triangle n'est pas seulement isocèle.""
C'est quoi trivial? et BDM est équilatéral pour M=E, mais qu'est ce que je dois en déduire?

[A voir en vidéo sur Futura]