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[exo][1°S]Géométrie dans l'espace



  1. #1
    kNz

    [exo][1°S]Géométrie dans l'espace


    ------

    Salut,

    Voilà un p'tit exo de géométrie dans l'espace que je pense avoir su résoudre, mais quelques réponses ne me semblent pas assez rigoureuses.

    Sujet :

    Soit un repère (O,,,) de l'espace.
    On donne les points A(3,0,0) ; B(1,1,0) ; C(0,2,1).
    Soit M défini par

    Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez vos réponses.

    a) A, B et C sont alignés.

    A appartient à (O,,)
    B appartient à (O,,)
    Par conséquent, pour que A, B et C soient alignés, C doit appartenir au plan (O,,[TEX]\vec{j}), soit posséder une côte nulle.
    Or C a pour coordonnées (0,2,1).

    Si cette explication ne convient pas j'ai aussi démontrer que et n'étaient pas colinéaires, mais je trouve que c'est plus court de dire ça.

    b) M appartient au plan (ABC)

    On sait que :



    On a donc grâce à la relation de Chasles :



    D'où :



    Par conséquent, M appartient au plan (ABC).

    c) Il existe deux réels x et y tels que

    J'ai calculé les coordonnées des vecteurs et :

    (3,0,0)
    (1,1,0)
    (0,2,1)

    Supposons qu'il existe deux réels x et y tels que

    On a alors :

    3=x
    0=x+2y
    0=y

    Finalement, aucun couple (x,y) ne peut satisfaire ces conditions.

    d) Comme et ne sont pas colinéaires, alors les droites (OB) et (AC) sont sécantes.

    J'ai d'abord démontré que et ne sont pas colinéaires.

    (OB) est incluse dans (O,,) tandis que (AC) ne l'est pas puisque a une côte non nulle.

    Supposons que (OB) et (AC) soient sécantes.

    On sait que (AC) inter (O,,) = A

    Si (OB) et (AC) sont sécantes, alors O, A et B sont alignés,

    càd soit :

    3 = 1 * k
    0 = 1 * k
    0 = 0 * k

    Or il est évident qu'aucun réel k ne peut satisfaire ces conditions, donc n'est pas colinéaire à et finalement, la proposition d) est fausse.

    Voilà, merci beaucoup aux gens qui se pencheront sur ce problème, la rédaction est-elle rigoureuse ??

    Merci encore, cordialement.

    -----
    Dernière modification par kNz ; 09/04/2006 à 14h43.

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  3. #2
    Tonton Nano

    Re : [exo][1°S]Géométrie dans l'espace

    Bonjour

    a) Ok. La démonstration par non colinéarité des vecteurs est plus jolie mais les deux son justes.

    b) Pas de problemes (c'est bien un A dans le dernier vecteur de la relation de Chasles ...)

    c) Impecable !

    d) Tu n'as pas a démontrer que OB et AC ne sont pas colinéaires, on te le dit ...
    Pour la suite, je dirais que comme OB est dans le plan (oij), et que AC coupe ce plan en A (et seulement en A), si (OB) et (AC) sont sécantes, alors A = B ...

    Voila, la rédaction est bonne, les réponses sont justes ... bravo.

  4. #3
    kNz

    Re : [exo][1°S]Géométrie dans l'espace

    Citation Envoyé par Tonton Nano
    b) Pas de problemes (c'est bien un A dans le dernier vecteur de la relation de Chasles ...)
    Oui désolé j'ai tapé trop vite, avec tout ce latex

    Citation Envoyé par Tonton Nano
    Voila, la rédaction est bonne, les réponses sont justes ... bravo.
    Merci

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