"Nombre" infini de points dans un segment, un plan, un espace nD

[inviteeb4acecd]

Bonjour,

Je cherche des références montrant par la bijection qu'il existe le même "nombre" infini de points dans un segment, une droite, un plan et un espace nD.


Merci pour votre aide.

Cordialement
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux montrer ce que tu cherches en remarquant qu'une droite est une union dénombrable de segments et qu'un plan est une union de droites indexées par un segment (en faisant tourner une droite passant par l'origine).

Par contre, qu'est-ce qu'un espace nD ?

[Médiat]

Bonjour,

Une droite est en bijection avec IR, un segment ouvert avec ]-1, 1[, et il est facile de trouver une bijection entre IR et ]-1, 1[.

Pour le cas général, le mieux est de s'intéresser à l'arithmétique cardinale, par exemple là : http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy...ornoyChap5.pdf

[inviteeb4acecd]

Merci d'avoir répondu à ma question. Désolé d'avoir mis autant de temps pour réagir.
J'ai regardé attentivement vos réponses mais je n'ai pas vu comment en tiré parti au vu de ma question. L'idée était de montrer que l'infinité de point était le même dans un au objet quelque soit sa taille (infiniment grand, infiniment petit) ou sa dimension (segment quelque soit sa taille, droite (dimension 1), plan (dimension 2), espace (tridimensionnel, ou à n dimensions nD)
merci pour votre aide.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7849ae55]

Tu cherches à montrer qu'il y a le même nombre de points, Médiat te dis que tous ces espaces sont en bijection.
Une bijection est une fonction bijective donc une fonction qui associe à un point d'un espace un seul point de l'autre et réciproquement.
Si il existe une bijection tu peux alors dire qu'il y a le même nombre d'éléments, puisqu'à chaque élément de l'un tu en fais correspondre un unique autre.

[invite14e03d2a]

Comme explique par Mediat, est en bijection avec , donc il suffit de montrer que les ensembles ont le meme cardinal pour tout . Pour montrer que et ont le meme cardinal,

1. s'inclut dans par , donc
2. A tout point de , on associe le point tel que la representation decimale de est ou et sont les representations decimales propres (sans suites infinies de 9) de et . Il n'est pas difficile de voir que c'est une injection, donc .

Maintenant, pour le cas general, on a et donc en utilisant definie par ou est n'importe quelle bijection .

Cordialement

[inviteeb4acecd]

Bonjour,

Merci pour vos réponses.
Taladris, je saisis votre démonstration dans son ensemble. Mais je ne vous suit pas sur certains points :
1) "Il n'est pas difficile de voir que c'est une injection"Pourriez-vous m'en dire plus pour que je voye qu'il s'agisse d'une injection ?
2) Vous écrivez "phi(x,y)=(psi(x),y)" autrement dit qu'un nombre est égale à un couple. Comment est-ce possible ?
3) Vous écrivez "psi:I^2\to I" ça ne correspond à ce que vous écrivez dans le point précédent 2)
Merci

Cordialement

[invite37083ed2]

2) Vous écrivez "phi(x,y)=(psi(x),y)" autrement dit qu'un nombre est égale à un couple. Comment est-ce possible ?

Prennons deux ensembles :
A={a,b,c} et B={d,e,f}.
Une fonction est un objet qui associe un élément de A à un unique élément de B.
Si je choisis que f une fonction associe a à d alors j'écris f(a)=d.
Je n'ai pas précisé ce qu'étaient a et d, je dis que a = 1 et que d=(17;23),
on a bien f(1)=(17;23). Un couple est un objet comme un autre, j'aurais pu mettre des patates ou des haricots, une fonction ne fait qu'associer un objet à un autre.

En l’occurrence, ici la fonction phi associe au couple (x,y) le couple (psi(x),y).

[invite14e03d2a]

Bonjour,

Merci pour vos réponses.
Taladris, je saisis votre démonstration dans son ensemble. Mais je ne vous suit pas sur certains points :
1) "Il n'est pas difficile de voir que c'est une injection"Pourriez-vous m'en dire plus pour que je voye qu'il s'agisse d'une injection ?

Qu'as-tu essaye? Ce n'est pas tres difficile mais un peu penible a ecrire sur un forum... donc je prefere te laisser essayer de le prouver et je corrigerai si besoin .
Prouver que l'application est injective signifie que si , alors necessairement and , ce qui signifie que and pour tout . Le livre dans lequel j'ai appris cette preuve utilisait la metaphore suivante: imagine que les decimales de sont ecrites sur une pile (infinie) de cartes a jouer bleues et celles de sur une pile de cartes rouges. L'application effectue un melange parfait des deux piles (alternance parfaite de bleues et de rouges). Si on te donne le resultat final et que tu sais que l'alternance est parfaite, tu peux reconstruire les piles d'origine. Donc le melange est injectif.

2) Vous écrivez "phi(x,y)=(psi(x),y)" autrement dit qu'un nombre est égale à un couple. Comment est-ce possible ?

Precisement:

1. est un couple dans , donc est un element de et un element de .
2. est un element de (un nombre donc).
3. est un couple de
4. n'est pas un nombre (comme l'a explique Victor) mais un couple de . Tout simplement parce que je l'ai defini comme cela.

3) Vous écrivez "psi:I^2\to I" ça ne correspond à ce que vous écrivez dans le point précédent 2)

Si, totalement! Si la confusion vient du "ou" sans accent, c'est juste que je n'ai pas acces a un clavier francais. Il faut lire "où". L'existence de (qui n'est pas unique) provient du theoreme de Cantor-Berstein (si tu ne connais pas ce theoreme, prends le temps de te documenter sur celui-ci; tu n'iras pas loin sinon).

Cordialement