Problèmes non résolus ou ardus!

[invitefbde31ad]

Bonjour à tous,

On a eu droit à un Andrew Wiles génie grâce à ce dernier théorème de Fermat connu de tous, on a eu droit à... on a eu droit à qui?

C'est en ceci que consiste ma question. Plus sérieusement, depuis que j'ai lu l'hypothèse de Riemann, et toute l'histoire qui l'entoure, je suis épris de la théorie des nombres, et je suis capable de passer des heures dessus. Alors qu'en algèbre linéaire, le mantra "les maths pour les maths" fait moins d'effet. Alors je lis et contemple les 7 "problèmes du millénaire", comme on les appelle. Ca me régénère.

N'est-ce pas normal après tout que ça soit principalement la Question qui dirige le disciple??

Alors je fais appel à vous pour partager vos connaissances sur les problèmes irrésolus encore de nos jours, ou bien qui à un moment de leur histoire ont rendu la tâche très difficile aux mathématiciens pour les résoudre.

Beaucoup de ces problèmes sont incompréhensibles (du moins à mon niveau), mais juste donner de quoi faire comprendre en quoi ils sont difficiles et beaux peut transmettre beaucoup d'ardeur! Sinon j'imagine qu'il existe tout de même une floppée de problèmes qui s'énonce en termes simples, même si leur difficulté calme la prétention de chacun (le but étant de chercher pour chercher, même si l'on sait qu'on ne trouvera pas - sauf si vous êtes un génie, mais ça je ne suis pas censé le savoir).
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[invitefbde31ad]

J'inaugure avec le dernier théorème de Fermat, que vous connaissez déjà tous (mais au moins il apparaîtra pour le collégien ou lycéen qui tombera sur ce site après des recherches). Pour son histoire, Le dernier théorème de Fermat est passionnant. Un petit lien descriptif sinon : résumé

Par contre, je suis bien déçu de n'avoir jamais croisé de problèmes concernant directement l'algèbre linéaire (à part pour les carrés magiques, mais ça ne me passionne pas).

[invite4793db90]

Salut,

l'algèbre linéaire est un cadre unifiée pour étudier les problèmes... linéaires. Ca te paraît pas très fun, mais lorsque Cayley et Grassmann étend à des dimensions >3 la notion de coordonnées dans les années 1840, il faut bien comprendre qu'à l'époque les mathématiciens essayaient toujours d'interpréter les objets d'un point de vue géométrique. De plus les travaux de Grassmann réssuscités par Peano en 1888 contiennent en substance les définitions modernes des espaces vectoriels, d'applications linéaires, et la relation fondamentale

parfois appelée théorème du rang.

L'algèbre bilinéaire a permis de traiter de manière générale du problème de la réduction des formes quadratiques et a débouché sur la théorie des invariants (Clebsch, Jordan, Sylvester).

Enfin bref, il y aurait beaucoup à dire et ce n'est pas parce que la théorie apparaît aujourd'hui comme aboutie qu'elle ne permet pas d'avoir une vue synthétique et fertile de problèmes a priori sans rapport entre eux.

Cordialement.

[invitefbde31ad]

Salut,

Oui bien sûr je garde en tête que les conceptions synthétiques qu'on nous livre aujourd'hui sont en quelque sorte déracinées, et qu'elles sont bien plus abouties que leur forme "Proposition 4 du petit 1) du grand A de la partie II)" le laisse paraître.

Je comprends aussi que des problèmes tels que le dernier théorème de Fermat et l'hypothèse de Riemann ne sont pas cloisonnés dans un domaine particulier des mathématiques, et qu'ils nécessitent une artillerie dans plusieurs branches.

Ce que je souhaitais simplement, c'est que l'énoncé (plus ou moins simple, mais compréhensible avec quelques recherches) soit sous la forme "théorie des nombres", "algèbre", etc - bien conscient que cette parcellisation est bornée.

Toujours est-il que je suis avide de ces problèmes!

Voici ce que j'ai trouvé sur quelques problèmes lisibles de la conférence de Hilbert en 1900 : Problèmes de Hilbert

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Si tu veux des problèmes plus actuels, il y a une liste de sept défis sur le site du Clay Institute...

[invitefbde31ad]

Oui les fameux "problèmes de millénaires". Seulement je n'arrive qu'à entrevoir l'hypothèse de Riemann, le problème P=NP et le problème de topologie.

Existe-t-il d'autres grands problèmes? Ou même des applications assez directes de la théorie sur un cas ludique? (je pense à l'exemple des carrés magiques, qui m'est resté je ne sais pourquoi puisque je ne l'apprécie que peu).

[invite4793db90]

Si tu veux des problèmes difficiles avec un énoncé simple, tu peux regarder parmi ceux que Erdös a résolus. Il y a aussi des sangaku qui ne sont pas piqués des vers...

[invitefbde31ad]

Merci! Je ne connaissais pas les sangaku, ça m'a l'air passionnant.

Ërdos les a résolus seul?
Je m'en vais voir ça tout de suite.

[invite35452583]

Une conjecture (donc non encore démontré) d'énoncé très simple :
tous les nombres pairs sont-ils somme de deux nombres premiers.
C'est la conjecture de Goldbach (pardon d'avance si j'ai écorché son nom). Elle est vérifié jusqu'à des nombres très grands.

[invitefbde31ad]

Bonjour,

Oui cela s'écrit bien comme ça . D'ailleurs la conjecture de Goldbach fait partie des problèmes de Hilbert, dont le lien est donné plus haut.

[invite4793db90]

Merci! Je ne connaissais pas les sangaku, ça m'a l'air passionnant.

Ërdos les a résolus seul?
Je m'en vais voir ça tout de suite.

A propos de Erdös, une chouette conférence par Paul Hoffman, auteur de la biographie The Man Who Loved Only Numbers:

http://www.vega.org.uk/video/programme/60 (en anglais)

[invite6de5f0ac]

Une conjecture (donc non encore démontré) d'énoncé très simple :
tous les nombres pairs sont-ils somme de deux nombres premiers.
C'est la conjecture de Goldbach (pardon d'avance si j'ai écorché son nom). Elle est vérifié jusqu'à des nombres très grands.

À ce propos, un bouquin sympa, avec les maths en toile de fond (mais pas beaucoup plus ):

"Oncle Petros et la conjecture de Goldbach"
de Apostolos Doxiadis.
éditeur Christian Bourgois

C'est un format poche, ça ne doit pas coûter trop cher... mais ce n'est pas un traité (même vulgarisé) de théorie des nombres!

-- françois

[invitefbde31ad]

Intéressante cette conférence sur Ërdos, il participe je vois très largement au principe "mathematicians are weirdos"