Exempt de valeurs amphigouriques et ardus calculs, désolée.

[invitea2c37478]

En fait, je ne savais pas trop où caser cette question, enfin, en tant que noobs' j'ai le droit de me tromper ^^. Venons-en aux faits.

( On peut l'appliquer à d'autres ensembles, je suppose, mais je me contenterai de ceux-ci )

Soient l'ensemble D, et l'ensemble N. On dit que l'ensemble D est "plus grand que" l'ensemble N (ne me démentez pas pour le moment, j'ai des preuves rédigées). Cependant, on dit aussi, que l'ensemble N "va jusqu'à " l'infini.
( C'est assez déprimant de voir une problématique qui a engendré tant de pensées condensée en trois lignes)

-Y a t’il plusieurs déclinaisons d'infinis, et comment un infini peut-il être plus grand qu'un autre ?
- Comment peut-on parler de tailles d'ensembles si on ne leur inclut aucun intervalle ?
- "Plus grand que" et "va jusqu'à" sont des expressions qui me semblent induire obligatoirement une délimitation, serait-ce mal exprimé ?

Sûrement cela n'avait-il aucun sens car c'était bien évidemment prévisible, mais, j'ai fait, à fin de mieux visualiser le problème, un tableau.
Il s’agissait de faire se correspondre un intervalle de l'ensemble D à l'ensemble N.
Et l’on se rend compte que même si D semble une infinité de fois plus "vaste" (pas "grand") que N (toujours illimité), les infinis se suivront toujours, dans la mesure où ils sont comparables.

Bref. J’ai fini. (si, si) Saurez-vous trouver le débroussaillage ultime qui apaisera mon esprit endolori et me fera passer pour une imbécile finie ?
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[shokin]

Infiniment petit ? infiniment grand ? infiniment à gauche ? infiniment complexe ? infiniment jolie ? infiniment heureuse ? infiniment unique ?

Shokin

[inviteab2b41c6]

Il y'a des quantité qui sont infiniment grandes et que tu peux compter, et d'autres que tu ne peux pas compter.
Par exemple quelle si tu marches et que tu ne t'arretes jamais, tu pourras compter le nombre de pas que tu as effectué:
1,2,3,4,...,1000,.... et ainsi de suite sans jamais t'arreter.

Mais il y'a aussi un infini que tu ne peux pas compter:
donne toi un petit morceau de droite.
Combien y'a t'il de points sur cette droite?
En fait tu ne peux pas les compter.
Une raison (qui ne suffit pas à elle seule en fait, mais qui permet de visualiser (meme si c'est en fait une fausse raison...)) est qu'entre 2points que tu te donneras, il y'aura toujours un point que tu oublieras de compter, ce qui n'est pas possible dans l'exemple précédent, puisque tu sauras toujours combien de pas tu auras effectué jusqu'au pas suivant.

Après on peut encore trouver pire que ca, mais c'est déja un bon début...
En fait, en terme plus mathématique:
On parle d'infinité dénombrable dans le premier cas, et indénombrable dans le second.
On dit qu'un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec N.
Indénombrable sinon.
R,R\Q sont indénombrables, N,Z,Q P(l'ensemble des pairs) et I (les impairs) sont dénombrables, ce qui implique qu'il y'a autant de nombres pairs que de nombres impairs (on s'en "doutait") mais surtout qu'il y'a autant de nombre pairs, que de nombres entiers...
à méditer...

[invitea2c37478]

/.../ infiniment jolie /.../ infiniment unique

(Merci )

Donc plusieurs infinis…Ce qui me parait tout de même peu logique, étant donné qu'ils "arrivent" tous deux Au But Inexistant, par définition.
Ils sont constitués différemment (ou sont une infinité de fois démarqués ?) pour au final "être" la même chose.
Si on les représente par des droites, il serait impossible de dire que l’un comporte plus de points que l’autre, ou vice versa.
C'est pourquoi les comparaisons impliquant une taille, ou une égalité ne tiennent pas...
Ce sont encore des histoires de rapport -_______-
Enfin, mille grâces et fougueuses arabesques pour ces précisions qui s'avèrent des plus fructueuses...
Même si je ne parviendrai certainement pas à comprendre et à me faire une raison aussi facilement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite229754d7]

Les droites (A) et (B) peuvent être prolongées indéfiniment. On dit qu'elles tendent vers l'infini et que leurs limites respectives est +infinie.
Mais la droite (A) sera "toujours plus grande" que la droite (B) parce que quand tu fais tendre tes droites vers l'infini, tu navigue sur l'axe des abscisses, ensuite quand tu veux comparer ces 2 droites alors tu te fixes un x donné (qui peut être infiniment et énormément très grand) et tu regard sur l'axe des ordonnées les images respectives des 2 droites.

Donc en résumé, on pourrait dire que pour un x qui tend vers l'infini, les droites (A) et (B) tendent vers l'infini aussi (2 infinis différents...).
Je viens d'utiliser 3 infinis différents dans ma phrase précédante, on peut conclure que infini n'est pas unique mais ce n'est qu'une simple abréviation pour dire que c'est très très grand mais que tu peux avoir plusieurs nombres très très très grands.

PS1: maintenant tu peux te dire que les ensembles D et N sont des ensembles de points qui peuvent être assimilés aux droites (B) et (A) ^^

PS2: Pourquoi je n'arrive pas à afficher des images mais seulement un lien ? Pourtant j'utilise bien la balise image: [img]valeur[/img]

[shokin]

Je vois ton image...

Un segment ne contient-il pas une infinité de points ?

soient deux segments finis, parallèles, distincts et de longueurs différentes tels que l'un soit image de l'autre par homothétie de rapport non nul.

Selon cette homothétie, ils auraient le même nombre de points.

Selon une simple translation, l'un aurait plus de points que l'autre...

Shokin

[invite229754d7]

soient deux segments finis, parallèles, distincts et de longueurs différentes tels que l'un soit image de l'autre par homothétie de rapport non nul.

Selon cette homothétie, ils auraient le même nombre de points.
Shokin

Je ne suis pas vraiment d'accord avec ça. Enfin tous dépend de comment tu construit et tu vois l'homothétie.
Si on suppose que le grand segment est construit point par point à partir du petit segment alors les 2 segments auraient le même nombre de points mais l'espace entre les 2 points dans le grand segment serait plus grand donc cet intervalle serait capable d'accueillir un plus grand nombre de points et donc le nombre de points (infini) dans le grand segment serait plus grand que le nombre de point (infini aussi) dans le petit segment...mais comment faire une homothétie point par point ? Je pense que c'est impossible de faire ça vu qu'il y a une infinie de point...

Ce serait plus simple de faire une homothétie de 2 points (les 2 extrémités) pour construire le grand segment. Là ce serait plus évident que le nombre de point du grand segment est plus grand que le nombre de point du petit segment.

Je viens de voir la définition de homothétie et d'après elle, tous les points du grand segment ont un antécédant dans le petit segment... on a affaire à un paradoxe ou c'est nous qui manipulons mal les différentes propriétés ?

PS: je ne vois pas l'image parce que c'est moi qui a posté, je le vois quand je me déconnecte.

[shokin]

C'était un paradoxe que je remarque. Je ne prétends en rien l'expliquer...

Shokin

[invite229754d7]

En voyant ça, je me rend compte que je ne sais pas vraiment c'est quoi un point.

Un volume est défini dans l'espace avec 3 dimensions et l'unité de mesure c'est le m³
L'aire est défini dans un plan avec 2 dimensions et l'unité c'est le m²
Un segment est défini dans une droite avec 1 dimension avec le mètre comme l'unité.

Un point c'est quelque chose qui n'a pas de dimension et pas d'unité par définition.
On dit que 2 points sont distincts ou confondus.
Est-ce qu'on peut parler de 2 points accolés et par extension de 2 droites accolées et 2 plans accolés ?

PS1: Je ne suis vraiment pas sur de ce que j'ai écrit en italique, ce serait pas mal si quelqu'un pouvait me confirmer ou m'infirmer cela.
PS2: Est-ce que ici on a vraiment un paradoxe ?
PS3: Je raisonne dans l'espace Euclidien, je ne connais pas les autres géométries

[inviteea091ca6]

Il ne faut pas confondre " point rationnel " et " point réel ".
Le point rationnel est une mesure finie, aussi petite soit-elle.
Ex: 0,0000000000000000000000000000 00001.
Le point réel est au-delà de toute mesure, il est infiniment petit.
Ex : 0,00000000000... (à l'infini)...1.
Sa taille est précisemment : 1/10^N, ou 10^-N.
Un point rationnel a une épaisseur (même infime), un point réel est sans épaisseur.
Dans l'épaisseur constituée par un point rationnel (aussi petit soit-il), il y a une infinité de points réels !
Il y a autant de points réels dans une droite que dans un segment de droite, autant de points réels dans un plan que dans une droite, autant de points réels dans l'univers entier que dans un plan !

[erik]

Euh, je pense qu'on mélange un peu des notions différentes là.

Un point n' a pas de dimension.
Par ailleurs il existe des nombres rationnels, des nombres reels ... mais aucun rapport avec ce qu'est un point.

Erik

[shokin]

Un point, n'est-il pas de dimension 0 ?

Dans une droite, infinité de points.
Dans un plan, infinité de droites.
Dans un espace, infinité de plans...

Shokin