Noyau d'un endomorphisme

[Samuel9-14]

Bonjour à tous !
J'ai une nouvelle question d'algèbre à vous poser concernant un endomorphisme cette fois.

On a l'endomorphisme de R³ défini par l'image de la base canonique :
f(e₁=(1,2,3)
f(e₂=(1,3,5)
f(e₃=(0,1,2)

On remarque f(e₁+e₃)=f(e₂)
Donc Im(f)=Vect(e₁,e₃)
On en déduit rg(f)=2

Je dois maintenant déterminer le noyau de f et en préciser une base.
Là je bloque toujours sur ce genre de question pour démarrer.
On sait que dim(ker(f))=1; et que f(e₁+e₃-e₂)=0.
Donc (e₁+e₃-e₂) appartient au noyau de f. Mais là je n'ai déterminé qu'un élément du noyau de f, est-ce suffisant ? Peut-on dire que ker(f)=Vect(e₁+e₃-e₂) ?

Enfin voilà, je suis un peu perdu vis-à-vis de ça, donc si quelqu'un pouvait me donner quelque piste pour déterminer ker(f) à partir de ce que j'ai déjà montrer, ça serait super ! Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Tout d'abord, le fait qu'un vecteur soit dans ker(f) ne justifie pas qu'il l'engendre. Même avec une dimension 1, il peut y avoir problème : le vecteur nul est dans ker(f). Donc il manque une justification.
Ensuite, tu as une partie génératrice à 1 élément d'un sev de dimension 1, donc ...

Ce qui permet de conclure.

Cordialement.

[Samuel9-14]

Merci de la réponse !

Ensuite, tu as une partie génératrice à 1 élément d'un sev de dimension 1, donc ...

Justement, je ne vois pas trop où est la partie génératrice, tout ce que je vois c'est que e₁+e₃-e₂ appartient au noyau de f. Je me doute quand même que la partie génératrice est bien ce vecteur, mais je ne comprends pas vraiment pourquoi. Du coup je ne vois pas la justification manquante.
Et du coup, je ne vois pas comment compléter la phrase que j'ai citée.

J'ai conscience que c'est surtout du cours que j'ai mal / pas assimilé...

[Samuel9-14]

ps : Finalement le seul truc que je n'ai pas compris c'est la justification à apporter en lien avec le vecteur nul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement,

c'est libre que je devais écrire, pas génératrice. Désolé.

Justement, pour qu'avec un seul vecteur, ça donne une partie libre, il faut .... qu'il soit non nul.

[Samuel9-14]

Ok. Donc en fait je dois juste distinguer le cas du vecteur nul ?
Si le vecteur est non nul, il forme une partie libre, donc génératrice (car on est en dimension finie), donc le vecteur engendre le noyau de f ?

[God's Breath]

On remarque f(e₁+e₃)=f(e₂)
Donc Im(f)=Vect(e₁,e₃)
On en déduit rg(f)=2

Ce passage mériterait d'être justifié de façon plus précise.
Cela permettrait d'éclaircir les problèmes autour du noyau.

[Samuel9-14]

Je ne vois pas vraiment comment être plus précis.

Je peux dire que comme f(e2) s'écrit comme une combinaison linéaire de f(e1) et f(e3), on a donc Im(f)=Vect(e1,e3)
Le sev Vect(e1,e3) est de dimension 2, donc rg(f)=2.

Mais j'ai un peu l'impression de dire la même chose.

[gg0]

Attention, c'est Im(f)=Vect(f(e1),f(e3))
Mais ça ne suffit pas pour dire que c'est de dimension 2 : Encore faut-il qu'il y ait une base à deux éléments, pour l'instant, tu n'as qu'une partie génératrice à deux éléments.

Autre chose : e₁+e₃-e₂ est évidemment non nul : Regarde quel triplet de réels c'est !

[Samuel9-14]

Oui j'avais oubléi de mettre les f(), simple oubli.

Dans le cours on a vu qu'il était équivalent de dire 'famille génératrice" et "base" quand on était en dimension finie, n'est-ce pas ça dont on doit se servir ici ?

Sinon, j'avais bien remarqué que e1+e3-e2 est non nul puisque ce sont les vecteurs de la base canonique de R3. Mais comme on sait qu'il est non nul, on peut en conclure que la famille de 1 élément est libre et donc que c'est une base de ker(f) (et que ker(f)=vect(e1+e3-e2) ?)

[PlaneteF]

Bonsoir,

Dans le cours on a vu qu'il était équivalent de dire 'famille génératrice" et "base" quand on était en dimension finie, (...)

Non ce n'est pas exact, ... pour que cela soit vrai il faut que la famille génératrice comprenne le même nombre d'éléments que la dimension de l'ev.

Cordialement

[God's Breath]

On remarque f(e₁+e₃)=f(e₂)
Donc Im(f)=Vect(e₁,e₃)
On en déduit rg(f)=2

Je précise ma pensée.

Il faut commencer par rappeler le cours :

Ensuite, pour se débarrasser de , la relation utile est : , pas : (c'est ce genre de détail de rédaction qui montre que l'on maîtrise les objets que l'on manipule).

Ensuite il faut expliquer pourquoi
- de , on ne peut pas conclure que ;
- de , on peut soudain conclure que .

[Samuel9-14]

Ok, merci PlaneteF, je n'avais pas saisi la nuance...

@God's Breath : ça revient un peu à ce que disait gg0 sur la base alors.
Et sinon, f étant un endomorphisme, ce que j'ai dit est la même chose, non ? J'ai préféré faire directement le raccourci pour faire apparaitre "plus rapidement" le vecteur appartenant au noyau.
Du coup, quid du noyau de f ? le vecteur étant non nul, il engendre le noyau et c'est reglé ? (en justifiant un peu mieux quoi )

[God's Breath]

je n'avais pas saisi la nuance...

D'où le flou artistique dans lequel se perd ton raisonnement.

Il n'y a pas grand chose à dire : tout repose effectivement autour de la relation qu'il faut monnayer correctement.

Pour le rang, il suffit de bien mettre en place les trois arguments que j'ai pointé du doigt pour obtenir une expression de l'image qui permette de calculer sa dimension, et pour le noyau, il suffit de faire l'inverse : utiliser correctement sa dimension, que l'on connaît, pour que l'on donne bien une base.