Suites et fonctions

[invite7b117dbf]

Coucou, j'ai un DM à faire pour la rentrée et il y a un exercice que je n'arrive pas à résoudre et j'aimerais etre guidée tout le long de l'exercice svp. L'énoncé est en pièce jointe.
Pour la question 1 jai dit que f devait admettre une dérivée première continue sur I pour etre de classe C¹.
J'ai appelé f₁(x)= (x+1/x-1)*(lnx/2) et f₂(x) = 1
J'ai dit que les 2 fonctions étaient continues et dérivables et que par conséquent f était aussi continue et dérivable sur l'inervalle I.
Après j'ai voulu calculer la dérivée de f donc j'a calculé f'₁(x) = (lnx*((x=1)-(x+1))/2*(x-1)²) (je ne suis pas sure de cette dérivée)
f'₂(x) = 0
et c'est la que je coince parce que je me demande si f'(x) = f'₁(x)+f'₂(x) ou pas. Et ensuie je me demande comment je peux démontrer que f'(x) est continue parce que je pensais jusqu'à maintenant qu'une dérivée était forcément continue or j'ai trouvé sur le site de mon prof un exemple de dérivée non-continue donc je suis un peu perdue. Merci d'avance pour votre aide.
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[Médiat]

J'ai appelé f₁(x)= (x+1/x-1)*(lnx/2) et f₂(x) = 1
J'ai dit que les 2 fonctions étaient continues et dérivables et que par conséquent f était aussi continue et dérivable sur l'intervalle I.

Bonjour,

Ave ce raisonnement vous démontrez que la fonction caractéristique des rationnels est continue et dérivable (f(x) = 0 est continue et dérivable, g(x) = 1 est continue et dérivable), alors qu'elle est discontinue en tous points.

[invite7b117dbf]

Ok mais je ne comprends pas trop ce que vous voulez dire ni le fait d'ailleurs que f(x) soit en 2 parties, je dois faire comment alors pour dire que f est continue et dérivable si je ne peux pas "ensembler" les 2 parties de la fonction ?

[invite8d4af10e]

Bonjour
je pense qu'il faudra calculer les limites au point x0=1 à droite et à gauche . tu as fait comment pour calculer la dérivée ? c'est de la forme uv

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7b117dbf]

Ah oui ok pour f₁(x) je calcule les limites en 1 à droite et à gauche parce que pour que f soit continue et dérivable sur I il faut qu'elle soit continue et dérivable en 1. Donc on a lim f₁(x) (x--> 1) = f(1) = 1. Mais comment faire la disticntion de la limite à droite et à gauche ?
Et pour la dérivabilité je dois expliquer pareil qu'il faut qu'elle soit dérivable à droite et à gauche et écrire les limites des accroissement finis et ensuite écrire les dérivées ?

Sinon pour la dérivée de f₁(x) j'ai utiliser la forme UV et la forme u/v pour la partie U, elle est fausse ?

[invite8d4af10e]

juste une précision pour la limite , tu remarqueras que (x+1)(/(x-1)*Ln(x)/2=(x+1)/2*(Ln(x)- Ln1)/(x-1)
pour la dérivée je trouve (x+1)/2(x-1)-Ln(x)/(x-1)²

[invite7b117dbf]

Ok mais je ne vois pas du tout, je ne comprends pas ce que je dois calculer avec les limites puisque f est bien dérivable et continue en 1 puisque f2(x) = 1 quand x=1.
Vraiment je suis perdue pour expliquer la continuité et la dérivabilité de f(x).
Ok je vais recalculer ma dérivée (edit : c'est bon)

[invite8d4af10e]

si mes souvenirs sont bons ça s'appelle un prolongement par continuité au point x0=1 , quelqu'un d'autre pourra t'expliquer mieux que moi .
pour la dérivée (x+1)/2(x-1)-Ln(x)/(x-1)² , il faudra mettre 1/(x-1) en facteur

[invite7b117dbf]

Ok merci déjà ˆˆ
Par contre j'ai refait la dérivée et j'ai (x+1)/2x(x-1)-Ln(x)/(x-1)² la dérivée de lnx/2 = 1/2x non ?

[invite8d4af10e]

oui tu as raison , désolé.
tu peux enchainer sur le 2)

[invite7b117dbf]

Ok mais il faut que je prouve que la dérivée est continue pour qu'elle soit de classe 1 mais je sais pas comment l'expliquer parce que je pensais qu'une dérivée était forcément continue or j'ai vu un cas contraire donc je ne sais pas.

[invite1f03900d]

Lol la limite pour montrer qu'elle est dérivable en 1 est trop difficile j'arrive pas à la trouver ...

[invite57a1e779]

Même avec un petit développement limité ?

[azizovsky]

Salut , tu cherche la dérivée s'il existe en : est dérivable en ,la fonction est nécessairement continue en .

[azizovsky]

Salut , tu cherche la dérivée s'il existe en : est dérivable en ,la fonction est nécessairement continue en .

Salut , je n'ai pas vu l'énoncé , de classe , n'a rien avoir averc la continuité de .

[invite7b117dbf]

Ah bon ? Mais normalement f ne doit pas admettre une dérivée première continue sur I pour etre de classe C1?

[invite1f03900d]

Salut , je n'ai pas vu l'énoncé , de classe , n'a rien avoir averc la continuité de .

Si , je sors ça d'un site :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On dit que f est
de classe C1 si f est dérivable sur I, et f' est continue sur I.

De plus , f'' aura toujours un x-1 dans le dénominateur ce qui fait il n'y aura pas de x0 .
Je pense que le fait que f soit continue veut dire que F ( sa fonction primitive ) est juste dérivable et non nécessairement continue .

[invite57a1e779]

17 messages sans avoir avancé la moindre proposition concrète, alors qu'il suffit de connaître son cours et de le mettre en pratique !

Sur et sur , le caractère de la fonction provient de ce qu'elle est obtenue par opérations algébriques portant sur des fonctions élémentaires dont on sait qu'elles sont de classe .

Le vrai problème est le raccord en 1 : il faut prouver que est dérivable en 1 et que la dérivée est continue en 1, ce qui peut se faire de deux façons.

1. Si l'on ne dispose pas du théorème de la limite de la dérivée : on prouve que est dérivable en 1 à l'aide d'un développement limité de au voisinage de 1, puis on prouve que est continue en 1 à l'aide d'un développement limité de au voisinage de 1.

2. Si l'on dispos du théorème de la limite de la dérivée : on prouve directement que est de classe sur en prouvant que admet une limite finie en 1 à l'aide d'un développement limité de au voisinage de 1.

[azizovsky]

1. Si l'on ne dispose pas du théorème de la limite de la dérivée : on prouve que est dérivable en 1 à l'aide d'un développement limité de au voisinage de 1, puis on prouve que est continue en 1 à l'aide d'un développement limité de au voisinage de 1.

.

Bonsoir ,par le DL de f ,on prouve la dérivabilité de et par le DL de f',on prouve la continuité de ?

[invite57a1e779]

Oui.

Le développement limité de permet de déterminer : .

Le développement limité de permet de déterminer : .

[azizovsky]

ok , maintenant ,c'est claire,merci ,je n'ai pas fait de calculs car la fonction en 1 est définie par prolongement par continuité.

[invite7b117dbf]

Merci pour toutes ce réponses mais pour ce qui est des développements limités nous n'avons pas encore fait de cours dessus donc cela ne m'éclaire pas trop.

[invite57a1e779]

Alors il reste à calculer brutalement les limites de mon message #20 : la limite du taux d'accroissement est immédiate, mais je pense que ça ne va pas être facile pour la limite de la dérivée.

EDIT : Après réflexion rapide, même la limite du taux d'accroissement n'est pas facile à obtenir.

[invite7b117dbf]

Non pour la dérivée effectivement c'est pas simple de trouver la limite.
Mais je ne comprend pas quand on parle de f est ce une sorte d'addition des 2 fonctions ? Je n'arrive pas à comprendre à cause de ça cette fonction qui est en 2 parties ça me perturbe, tous les calculs des limites se font avec f donc je vois pas comment on peut parle de la 1ère fonction.

[invite1f03900d]

Enfait c'est une fonction définie par 2 fonction et tu prouve qu'elle est continue en calculant la limite dans le point qui fait la liaison entre les deux (quelqu'un de plus experimenté d'expliquera mieux xd)

En ce qui me concerne , après un rude combat j'ai trouvé la limite du taux d'acroissement qui égale a 0 donc dérivable en 1 .

[invite7b117dbf]

Oula quel boulot oui J'ai essayé de reprendre un peu ta démo mais c'est compliqué Mais il y a t il une différence entre la lim quand x tend vers 1 du taux d'accroissement et la la limite en 1 de f'(x) ?
Je pense que je vais abandonner cette question car je n'y comprends vraiment rien. J'ai essayé de trouver des renseignements sur les dévellopements limités mais je ne suis pas arrivée à les écrire pour les 2 propositions de God's Breath.

[invite57a1e779]

Mais il y a t il une différence entre la lim quand x tend vers 1 du taux d'accroissement et la la limite en 1 de f'(x) ?

L'existence et la valeur de , c'est la dérivabilité de en 1, c'est-à-dire l'existence de .

L'existence et la valeur de , c'est la continuité de en 1, problème qui ne peut se poser que si existe.

Les deux problèmes sont liés, mais ils sont différents. Le lien entre les deux problèmes, c'est le théorème de la limite de la dérivée.

Si l'on ne dispose pas des développements limités, le calcul de ces limites est techniquement ardu.

[invite7b117dbf]

Ah oui d'accord merci. En fait on a commencé à voir une formule générale sur les DL mais on ne les a pas du tout appliqués donc je ne vois pas comment les poser là. Je pourrais avoir si possible un exemple pour le 1er et j'essaierai de faire le 2ème ensuite par analogie.

[azizovsky]

Salut ,un petit résumé :

la fonction est continue en et de même pour la dérivée .

[invite7b117dbf]

Ok merci donc je dois appliquer ça avec xo=1 et ensuite faire un DL ?