Orthogonal d'un plan

[invite2c605e0f]

Bonjour, l'orthogonal d'un plan dans R³ peut-il être autre chose qu'un droite?
Peut-on parler de plan orthogonal? Un de mes exercices le laisse supposer mais alors tous les vecteurs du second plan ne sont pas orthogonaux au premier...
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[Seirios]

Bonjour,

L'orthogonal X d'un sous-espace Y est en somme directe avec ce dernier, donc la dimension de X est la codimension de Y. Ici, l'orthogonal d'un plan est nécessairement de dimension 1 : c'est une droite. Par contre, on peut dire que deux plans sont orthogonaux, mais étant donné un plan, il n'existe pas un unique plan qui lui est orthogonal, donc l'expression de "plan orthogonal" n'est pas très heureuse.

[gg0]

Bonjour.

On parle plutôt de plans perpendiculaires (puisque les plans se coupent) : Un plan P est perpendiculaire au plan Q si P contient une droite perpendiculaire à Q.
Tout ça est de la géométrie euclidienne classique. Bien évidemment, si tu te places dans le cadre purement vectoriel, la réponse de Seirios est la bonne.

Cordialement.

[invite2c605e0f]

Ok merci pour vos réponses.

Voici l’énoncé:


Je pense qu'ici il convient en effet de comprendre P₀^ortho comme une droite...

Ici on trouve donc (arrêtez-moi si je me trompe):

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Il s'agit effectivement de vectoriel.

En dimension 3, connaissant une base de P, le produit vectoriel donne immédiatement une base de son orthogonal.

Cordialement.

NB : ça semble bon.

[invite2c605e0f]

Ok j'essaierais de retenir ça merci

[invite2c605e0f]

Je bloque sur la question suivante.. Je dois donner la matrice de symétrie orthogonale par rapport à ces plans. C'est évident que l'on peut se servir des bases trouvées juste avant, mais je ne vois pas comment. Il faudrait pouvoir avoir d'une certaine manière la distance d'un point au plan pour que l'équation de la droite orthogonale nous serve? Et une fois cette distance (avec une convention pour le signe) on la multiplie par ce vecteur unitaire. Mais je ne vois pas comment tout mettre en forme, voyez vous ce qu'il y a à faire?

[gg0]

Avec un dessin, on voit tout de suite ce que deviennent les trois vecteurs dans cette transformation. Comme ils forment une base de E ...

[invite2c605e0f]

Ok je pense que je vois ce qu'il faut faire. On l'exprime avec les 3 vecteurs trouvés juste avant, pour ça on conserve à l'identique les deux qui génèrent le plan et on prend l'opposé de celui orthogonal au plan, puis on fait un changement de base de la matrice?

[gg0]

Oui, c'est ça !