Intuition contexte critère d’Eisenstein :

[invite7fa3b928]

Bonjour à tous,

Voilà j'ai découvert le critère d'Eisenstein récemment et je me demande : quand peut-on avoir l'intuition, et quels sont les premières translations à tester pour faire en sorte que le polynôme qui nous intéresse vérifie le critère ?

Prenons un exemple :
Comment savoir si il y a une chance que le translaté de P vérifie le critère ?

Ps : Je sais que c'est une condition suffisante d'irréductibilité.

Merci d'avance de votre aide :

Gautier [mpsi]
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[Seirios]

Bonjour,

De manière générale, je ne pense pas qu'il y ait une méthode particulière. Dans ce cas présent, tu as

,

et il se trouve que et sont premiers entre eux, donc tu ne pourras pas appliquer le critère d'Eisenstein : on a et , donc par Bezout est premier avec et .

D'un autre côté, pour ce cas particulier, tu n'as pas besoin du critère d'Eisenstein pour montrer l'irréductibilité du polynôme sur ou , il suffit de remarquer qu'il n'a pas de racine dans ces anneaux.

[invite7fa3b928]

Intéressant, je n'avais pas pensé à insérer n et regarder ce que ça donne.

Merci pour les idées, sur le critère, oui dans le cas présent je me contenterais de montrer qu'il n'y a pas de racines dans .