Bonsoir,
Soitun nombre premier dans
, j'ai du mal à voir pourquoi si
est réductible dans l'anneau d'Eisenstein
, alors le polynôme
possède une racine dans
,
et pour quelsce polynôme a une racine double.
Merci.
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Bonsoir,
Soitun nombre premier dans
, j'ai du mal à voir pourquoi si
est réductible dans l'anneau d'Eisenstein
, alors le polynôme
possède une racine dans
,
et pour quelsce polynôme a une racine double.
Merci.
j'ai oublié de donner une précision tout de même.
![]()
C'est toujours le même refrain : siest de module 1, il est inversible dans
puisqu'alors
et
.
Siest réductible, il admet une factorisation
avec
et
non inversible, donc de modules différents de 1.
On adonc, si
est premier,
(ce qui fournit par ailleurs
).
Si, on a donc
, ce qui fournit modulo
:
(ici
est la classe de
modulo
), et
est racine de
dans
.
En utilisant les relations entre coefficients et racines d'un polynôme, il est immédiat de voir queest racine double de
si, et seulement si,
et
.
Cette dernière équation a, dans tout corps, les seules racines 1 et -1, or
– si, alors
si, et seulement si,
;
– si, alors
si, et seulement si,
.
Le polynômeadmet une racine double dans
si, et seulement si,
.
merci gb, c'est plus clair maintenant.![]()
pas si clair que ça finalement
Je dois montrer que si le polynômea deux racines distinctes dans
alors
se factorise en produit d'éléments irréductibles non associés dans
.
Si je noteet
ces deux racines dans
, je dois avoir
, et d'après les relations coefficients/racines on a
et
.
Après je ne vois pas comment trouver ces deux irréductibles.![]()
Salut !
ce lien viens du fait suivant :
pour savoir si p est on nom réductible dans Z[j]on étudit Z[j]/(p) (c'est intégre si et seulement si p est premier).
et pour savoir si x²+x+1 admet des racine dasn Fp on étudie A=Fp[X]/(x^2+x+1) (en effet, si x²+x+1 n'as pas de racine alors il est ireductible alors A est un corps, et sinon, x²+x+1 a deux racine et dans ce cas A=(Fp)^2 n'est pas un corps)
le fait important est que :
Z[j]/(p) =Z[X]/(x²+x+1)/(p) = Z[X]/(x²+x+1,p)=(Z/pZ)[X]/(X²+x+1)
je te laisse réflechir la dessus !
ok, merci pour ces pistes Ksilver.
C'est un peu exotique pour moi tous ces quotients, je vais regarder ça plus en détail![]()
Déjà pour montrer que, je rencontre quelques difficultés.
Par définition de, le morphisme
qui à
associe
est un morphisme d'anneaux surjectif.
Il reste à montrer que. Je ne vois pas vraiment comment faire.
est-il principal?
Bon j'ai trouvé quen'est pas euclidien, donc pas principal.
Bon j'ai trouvé un argument qui me paraît plus solide (sans ces histoires de division euclidienne) pour montrer quen'est pas principal,
j'ai montré que siest principal alors
est un corps, en considérant pour
l'idéal
.
Doncn'est pas principal vu que ce n'est pas un corps.
Cependant j'ai toujours du mal à voir pourquoi.
![]()
Bon j'ai trouvé finalement.
J'ai montré queest irréductible sur
, donc
est le polynôme minimal de
sur
.
Ensuite pour un élémentde
, je fais la division euclidienne de
par
dans
,
et comme le monôme dominant deest 1, cette division se passe en fait dans
,
ie il existetel que
avec
ou
.
On a, donc
.
Commeest le polynôme minimal de
sur
, on doit avoir
.
D'où.
Je cherche la suite demain.![]()
Je galère sur ces quotients de quotients.
Pour montrer que,
Je pensais utiliser les projections canoniqueset
,
et montrer queest un morphisme d'anneaux surjectif (ça c'est clair) de noyau
(beaucoup moins clair).
Ce qui me pose problème surtout c'est pour montrer que.
![]()
Bon finalement je suis arrivé au bout cette inclusion
Si, alors
,
iedivise
,
donc il existetel que
,
ainsi il existetel que
.
ok j'ai enfin compris (ouf), merci à gb et Ksilver.![]()
Il y encore un point pas clair.
se décompose donc en produit de deux irréductibles
et
dans
, mais pourquoi
et
ne sont pas associés?