Entiers d'Eisenstein

[invite769a1844]

Bonsoir,

Soit un nombre premier dans , j'ai du mal à voir pourquoi si est réductible dans l'anneau d'Eisenstein , alors le polynôme possède une racine dans ,
et pour quels ce polynôme a une racine double.


Merci.
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[invite769a1844]

j'ai oublié de donner une précision tout de même .

[God's Breath]

C'est toujours le même refrain : si est de module 1, il est inversible dans puisqu'alors et .

Si est réductible, il admet une factorisation avec et non inversible, donc de modules différents de 1.
On a donc, si est premier, (ce qui fournit par ailleurs ).
Si , on a donc , ce qui fournit modulo : (ici est la classe de modulo ), et est racine de dans .

En utilisant les relations entre coefficients et racines d'un polynôme, il est immédiat de voir que est racine double de si, et seulement si, et .
Cette dernière équation a, dans tout corps, les seules racines 1 et -1, or
– si , alors si, et seulement si, ;
– si , alors si, et seulement si, .
Le polynôme admet une racine double dans si, et seulement si, .

[invite769a1844]

merci gb, c'est plus clair maintenant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

pas si clair que ça finalement

Je dois montrer que si le polynôme a deux racines distinctes dans alors se factorise en produit d'éléments irréductibles non associés dans .

Si je note et ces deux racines dans , je dois avoir , et d'après les relations coefficients/racines on a et .

Après je ne vois pas comment trouver ces deux irréductibles.

[invite4ef352d8]

Salut !

ce lien viens du fait suivant :

pour savoir si p est on nom réductible dans Z[j]on étudit Z[j]/(p) (c'est intégre si et seulement si p est premier).

et pour savoir si x²+x+1 admet des racine dasn Fp on étudie A=Fp[X]/(x^2+x+1) (en effet, si x²+x+1 n'as pas de racine alors il est ireductible alors A est un corps, et sinon, x²+x+1 a deux racine et dans ce cas A=(Fp)^2 n'est pas un corps)

le fait important est que :
Z[j]/(p) =Z[X]/(x²+x+1)/(p) = Z[X]/(x²+x+1,p)=(Z/pZ)[X]/(X²+x+1)

je te laisse réflechir la dessus !

[invite769a1844]

ok, merci pour ces pistes Ksilver.
C'est un peu exotique pour moi tous ces quotients, je vais regarder ça plus en détail

[invite769a1844]

Déjà pour montrer que , je rencontre quelques difficultés.

Par définition de , le morphisme qui à associe est un morphisme d'anneaux surjectif.

Il reste à montrer que . Je ne vois pas vraiment comment faire. est-il principal?

[invite769a1844]

Bon j'ai trouvé que n'est pas euclidien, donc pas principal.

[invite769a1844]

Bon j'ai trouvé un argument qui me paraît plus solide (sans ces histoires de division euclidienne) pour montrer que n'est pas principal,

j'ai montré que si est principal alors est un corps, en considérant pour l'idéal .

Donc n'est pas principal vu que ce n'est pas un corps.

Cependant j'ai toujours du mal à voir pourquoi .

[invite769a1844]

Bon j'ai trouvé finalement.

J'ai montré que est irréductible sur , donc est le polynôme minimal de sur .

Ensuite pour un élément de , je fais la division euclidienne de par dans ,
et comme le monôme dominant de est 1, cette division se passe en fait dans ,
ie il existe tel que avec ou .

On a , donc .

Comme est le polynôme minimal de sur , on doit avoir .

D'où .

Je cherche la suite demain.

[invite769a1844]

Je galère sur ces quotients de quotients.

Pour montrer que ,

Je pensais utiliser les projections canoniques et ,

et montrer que est un morphisme d'anneaux surjectif (ça c'est clair) de noyau (beaucoup moins clair).

Ce qui me pose problème surtout c'est pour montrer que .

[invite769a1844]

Bon finalement je suis arrivé au bout cette inclusion

Si , alors ,

ie divise ,

donc il existe tel que ,

ainsi il existe tel que .

[invite769a1844]

ok j'ai enfin compris (ouf), merci à gb et Ksilver.

[invite769a1844]

Il y encore un point pas clair.

se décompose donc en produit de deux irréductibles et dans , mais pourquoi et ne sont pas associés?