Problème d'optimisation (ou différentielle ?)

[invite277ed6f1]

Bonjour à tous, voilà je m'adresse à vous parce que j'ai un petit souci avec ce qui est, je pense, un problème s'optimisation.

Dèjà, voici l'énoncé :
Lorsque l'on tousse, la trachée se contracte pour augmenter la vitesse de l'air expulsé vers l'extérieur. Cette vitesse (en cm/s) est proportionnelle au produit du carré du rayon de la trachée au moment où l'on tousse et de la différence entre le rayon de la trachée au repos et le rayon de la trachée lors de la toux (les rayons étant exprimés en cm).

a. Exprimer la vitesse d'expulsion en fonction de du rayon de la trachée en toussant.
b. Dans quelle proportion la trachée se réduit-elle pour que l'air soit expulsé avec une vitesse maximale.


Je précise, pour que ça soit plus clair, j'utilise r_t pour le rayon au moment de la toux et r_r pour le rayon au repos.
J'ai écrit l'équation et j'obtiens : v(r_t) = k r_t² . (r_r-r_t)
Je pense qu'il s'agit d'un problème d'optimisation (j'hésite avec les différentielles) mais je ne vois pas comment résoudre le point b. En faite ce que je ne sait pas traduire c'est le mot "proportion"
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[invite33c0645d]

Ici tu cherches à savoir de combien la trachée se réduit pour que la vitesse soit maximale!

Autrement dit tu cherches le réel pour que est maximale. Donc oui tu devras calculer une dérivée par rapport à $p$ et en déduire qu'en un certain coefficient de proportion la vitesse d'expulsion est la plus grande possible.

[invite277ed6f1]

Je me permet de vous demander quand même quelle est la dérivée de ce que j'ai écrit, parce que j'ai obtenu 2 réponses différentes :S

[gg0]

Tu as vraiment besoin qu'on te donne la dérivée d'un polynôme de degré 3 ? Tu es en première ?



Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]