Probléme sur la dimension d'un ev

[invitef406969b]

Bonjour,
J'arrive pas à comprendre pourquoi g(f(E)) est l'image de g par la restriction de f(E) et pourquoi sa dimension est inférieur à celle de f(E)
avec g∈L(F,G) et f∈L(E,F)

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Pour tout x de E, (gof)(x)=g(f(x)) est l'image par g d'un élément de Im(f) qui s'appelle f(x).

Pour tout espace vectoriel H, et toute application linéaire h de H dans un espace vectoriel K, la dimension de Im(h) est inférieure ou égale à celle de H. Pour cela, prends une base f(x1), f(x2), ... f(xn) de Im(f) et prouve que {x1, x2, ... xn} est une partie libre de H (calcul facile).
Application immédiate à ta deuxième question.

Cordialement.

[invitef406969b]

Merci Beaucoup C'est bien compris