Dimension d'un produit cartésien

[invitecb278166]

Bonsoir,

J'aimerais savoir si on a bien la propriété suivante (sachant que F et G sont des sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel) : dim(FxG) = dim(F) + dim(G)
Et est-ce qu'on peut généraliser à n sous-espaces ? (dim(F1xF2x ... x Fn) = dim(F1) + dim(F2) + ... + dim(Fn))

J'ai du mal à trouver des informations sur ce sujet. Si quelqu'un a une démonstration de cette propriété ça serait même parfait.

Merci.
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[Seirios]

Bonsoir,

Peux-tu trouver une base de ?

[invitecb278166]

Je ne suis pas sûr du tout mais peut-être le Vect du couple (x,y) avec x∈F et y∈G ?

[gg0]

Heu ... une base ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

@luxorr :

Pour construire une base de , tu peux utiliser les vecteurs d'une base de et ceux d'une base de .

Cdt

[PlaneteF]

Une autre façon de démontrer que :

On considère l'application de vers , telle que :

Il est facile de vérifier que est une application linéaire.

Ensuite on explicite et on montre qu'il est isomorphe à . On explicite ensuite . On peut finalement appliquer le théorème du rang, ... et on tombe sur la formule à démontrer.


Cdt