Séries de fonctions et série de Fourier

[valy08051992]

Coucou!
bon alors voilà j'ai deux problèmes:
1) les séries de fonctions: les notions de convergences uniforme et simple ne sont pas du tout claires pour moi. Par exemple on me donne la fonction f_n(x)=x/(1+nx) sur l'intervalle [0,1]. Une fois que j'ai déterminé les valeurs de f_n aux bornes de l'intervalle, je fais quoi? Ma correction me dit qu'elle converge uniformément. Pourquoi ce n'est pas une convergence simple?

2) les séries de Fourier: pour prendre exemple sur un exercice, j'ai la fonction f(x)=2x-pi
on me demande la série de Fourier de la fonction, pas de soucis on a trouvé S_f(x)=-8/pi*∑(1/(2k+1)²*cos((2k+1)x)) la somme se fait de k=0 à l'infini, et le but est de trouver pour quelles valeurs de x S_f(x)=f(x) or mon corrigé ne comporte aucune étape et ça avait beau me paraître plus ou moins clair en cours là j'avoue que je suis paumée.

voilà j'espère que quelqu'un pourra m'aider!
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[gg0]

Bonjour.

La différence entre les définitions de la convergence simple et celle de la convergence uniforme est claire si on lit (et apprend, pour être sûr d'avoir bien compris) les définitions avec ça en tête :
* Convergence simple : On regarde les séries x par x, la convergence pour une valeur de x pouvant se faire de façon très différente d'une autre valeur de x, pourvu que ça converge.
* Convergence uniforme : on a une règle globale de convergence de la série règle qui ne dépend pas de x.
Un cas particulier de convergence uniforme est la convergence normale, qui est le cas où pour tout x, et converge. Le fait que a_n ne dépend pas de x rend la règle de convergence (en valeur absolue plus vite que la série ) globale, indépendante du x choisi.

Cordialement.

[gg0]

Je n'ai pas compris ta deuxième question. Si c'est pour l'égalité entre la série de Fourier et la fonction, il y a des théorèmes concernant certains types de fonctions, donc soit tu as ça dans ton cours, soit c'est une question difficile, qui a mobilisé d'excellents mathématiciens au dix-neuvième siècle.

Cordialement.

NB : Je suppose que ta fonction est définie ainsi sur ]-pi;pi] et 2 pi périodique.

[valy08051992]

je crois que ça va un peu mieux pour la convergence uniforme/simple

pour la série de Fourier pardon j'ai oublié l'intervalle de définition, c'est [0,pi], 2 pi périodique et paire. la question dans l'exercice c'est juste "pour quelles valeurs de x réel a-t-on Sf(x)=f(x)
en ce qui concerne mon cours je serais bien incapable d'en tirer quoi que ce soit, il est totalement incompréhensible...
en tout cas c'est pas grave si en exam les exercices sont du même style, cette question ne m'empêchera pas de le finir!

Merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Il serait étonnant (*) que tu n'aies pas un théorème du genre : "Si f est C1 par morceaux (**), alors sa série de Fourier vaut en x
est la limite de f en x par valeurs inférieures (à gauche).
En conséquence, en dehors des points de discontinuité de f, f est la limite de sa série de Fourier. Et comme ta fonction est continue ...

Cordialement.

(*) Cherche bien
(**) Sur une période, f est C1 sur un nombre fini de morceaux, et a des limites à droite et à gauche aux extrémités des morceaux, et sa dérivée aussi.

[valy08051992]

non ça ne me dit rien... de plus un théorème comme ça le prof de TD nous l'aurait mis en rappel de cours mais là on a rien du tout...

mais sinon c'est pas grave, ce n'est pas ce qui me servira le plus dans mon avenir et puis bah une question dans un exam de 2h ça ne fera pas la différence donc comme les maths et moi on est pas très amies, va pas t'arracher les cheveux à m'expliquer^^

Cela dit merci quand même! =)