Nombre complexe avec exposant négatif

[invited4f3b9a2]

Bonjour à tous,
Ce questionnement aura peut-être l'air un peu stupide, mais il m'obstrue l'esprit depuis hier:
Je veux calculer (-1)^(-1/2). Nous sommes tous d'accord que nous pouvons le calculer à la conventionnelle, i.e.: A=(-1)^(-1/2)= 1/[(-1)^(1/2)]= 1/i = -i.
Or, voilà le problème, je vais refaire le calcul, mais en utilisant un autre chemin fonctionnant très bien sur les nombres positifs réels (en résumé, je vais utiliser (a^k)^m=a^(km) ) : B=(-1)^(-1/2)= [(-1)^(-1)]^(1/2) = (-1)^(1/2) = i .... Vous comprendrez bien que ce résultat m'embête puisque il semblerait que, dans un contexte complexe, (a^k)^m != a^(km) puisque A!=B.
Alors, ai-je fait une erreur dans mes calculs ou les lois des exposants ne sont pas les mêmes?
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[invite8fd0ee2c]

Bonjour,

Je pense bien qu'il y a une erreur de calcul à ce niveau.

[(-1)^(-1)]^(1/2) = (-1)^(1/2)

Comme vous le dites a^m^k = a^(m x k)
ici (-1) X (1/2) = -1/2 et pas (1/2)

[invited4f3b9a2]

Je suis d'accord avec vous sur ce point, c'était d'ailleurs la méthode employée pour calculer A, la question est si, arbitrairement, je décide de résoudre la parenthèse [(-1)^(-1)] avant de lui appliquer l'exposant 1/2, j'obtiens une réponse différente de si je faisais comme vous le suggérez et comme j'ai fait dans le calcul du A, ce qui est différent du cas de nombre positif réel, d'où mon questionnement. ex: 2^(-1/2)= 1/(sqrt(2)) ; (2^(-1))^1/2= (1/2)^(1/2)= 1/(sqrt2)

[gg0]

Bonjour.

Le problème essentiel est d'appliquer des règles en dehors du domaine où elles ont été établies. la puissance 1/2 pour les réels relève soit d'une notation pour la racine carrée, soit de la définition des puissances de réels strictement positifs par l'intermédiaire des exponentielles : a^b = exp(b ln(a)).
Dans les deux cas, le nombre à la puissance 1/2 est un réel strictement positif. Comme -1 ne l'est pas, il faut que tu définisses clairement ce que tu appelles puissance 1/2 pour un réel négatif (ou plus généralement un complexe), puis que tu vérifies les règles habituelles pour savoir si elles fonctionnent toujours. Tu viens de voir que ce n'est pas le cas.

Au passage, "(-1)^(1/2)=i" n'est pas l'application d'une règle connue

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Vous appliquez des théorèmes dans un domaine où ils ne s'appliquent pas, je vous donne un (contre)-exemple plus simple encore :





Bien sûr certaines égalités ci-dessus ne sont pas valides.

[invited4f3b9a2]

Merci beaucoup à vous deux, vos réponses ont été très pertinentes!