résoudre l'équation dans C : x²=((1+i)/(1-i))

[invite0881a661]

Bonjour,

Une des questions de mon DM est la suivante :

résoudre l'équation dans C : x²=((1+i)/(1-i))

J'ai commencé mon calcul en conjuguant le dénominateur pour enlever le i et ensuite j'ai fait comme dans R et j'ai trouvé une valeur de x mais je pense que mon raisonnement est trop simpliste et je passe à côté.

Un petit coup de main ne serait pas de refus.

Merci d'avance pour vos contributions.
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[Amanuensis]

Bonjour, et bienvenue sur le forum,

Si vous détailliez la solution, on pourra indiquer quoi en penser...

(L'exercice est simple, une solution simple peut être bonne!)

[invite0881a661]

Merci pour votre accueil, alors voila ce que j'ai fait :

x²= (1+i)(1+i) / (1-i)(1+i)
x²= 2i/2
d'ou
x= racine de i ou x= - racine de i

ce qui me gène c'est que je n'ai pas de Z dans cette équation mais directement x, d'autre part Z=x+iy avec x et y des réels.
fin bref je pense que mon raisonnement en gaz pas

[Amanuensis]

x²= (1+i)(1+i) / (1-i)(1+i)
x²= 2i/2

Le calcul n'est pas correct.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

C'est quoi "racine de 1" ? la fonction racine carrée a été définie sur les réels positifs, même pas pour tous les réels.

par contre, trouver a et b pour que x=a+ib soit tel que x²=i répondrait à ton vrai problème.

Bon travail !

[breukin]

Le calcul n'est pas correct.

Quel est le calcul correct ?
Serait-ce celui-ci ?

[breukin]

ce qui me gène c'est que je n'ai pas de Z dans cette équation mais directement x

Et dans l'équation ci-dessous, vous n'avez ni , ni , ni , ni : elle vous gêne ?



Les lettres n'ont pas de signification intrinsèque ! a le droit inaliénable à représenter un nombre complexe.

[Amanuensis]

Quel est le calcul correct ?

Je me suis mal exprimé, effectivement. L'égalité est correcte (et j'aurais dû vérifier).

Il y a une étape en trop dans le calcul, sans laquelle on obtient le résultat final directement.

[invite0881a661]

@breukin : Oui vous avez complètement raison, je suis encore un peu trop conditionnée.

[invite0881a661]

Merci pour vos réponses, je vais finir ma résolution.

[gg0]

Tu as vu dans ton calcul que (1+i)²=2i; il ne devrait pas être trop difficile d'en déduire un complexe dont le carré est i.

[invite0881a661]

effectivement et j'arrive à /2 + i /2

[Amanuensis]

Tu as vu dans ton calcul que (1+i)²=2i

C'est ce que je voulais dire par une étape de trop...

[breukin]

Je ne comprends pas le raisonnement...

On calcule pour simplifier 1+i/1-i comme on veut (j'ai donné une solution alternative), et on trouve i, donc on est amené à résoudre x²=i.
Il n'y a pas d'étape en trop en multipliant en haut et en bas par le conjugé du dénominateur, en vue de simplifier la fraction.
Tant qu'on n'a pas terminé ce calcul, on ne sait pas que c'est i, donc on ne peut pas utiliser l'étape intermédiaire (1+i)²=2i, pour résoudre l'équation simplifiée x²=i qu'on n'a pas encore découverte...

[Amanuensis]

Démo (en partie repris du message #3, faute d'orthographe comprise)

x²= (1+i)(1+i) / (1-i)(1+i)
x²= (i+1)²/2
d'ou
x= +/-(1+i)/sqrt(2)

Pourquoi passer par une étape intermédiaire inutile et en plus compliquée (l'extraction du racine complexe)?

Ce n'est quand même pas un exploit que reconnaître dans (1+i)(1+i) un carré, si?

[breukin]

oui, effectivement, quand on va trop vite pour calculer les complexes sous forme canonique...

[Amanuensis]

Obnubilé par ce court-circuit, j'ai été maladroit dans ma première intervention et je ne l'ai pas vu de moi-même... C'est l'intérêt d'un forum interactif, les erreurs sont le plus souvent corrigées, et différentes solutions à un même problème peuvent être présentées.