Application Linéaire

[invitea7bfbcaf]

Bonjour,

Je bloque sur un exercice :

Soit f une application de R4 dans R3 definie par f(x,y,z,t) = (x+y,y-z,x+z) . Quelque soit (x,y,z,t) appartenant à R4.

1- Montrer que f est une application lineaire

J'ai fais cette question en montrant que f(u+v) = f(u) + f(v) puis que f(pu) = pf(u)

2- Determiner une base de Ker f, l'application f est elle injective ?

Cela revient a résoudre le systeme
x + y =0
y - z = 0
x + z = 0
J'ai trouver que y = -x et que -x = z
Dim Ker f = 1 et (1,-1,-1) est une base de Ker f . Je suis pas du tout sur .
L'application f est elle injective ?

3-Determiner une base de Im(f) et son rang , l'application f est elle surjective ?

Dim Im(f) = 3 d'apres le theoreme du rang

Merci pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

"J'ai trouver que y = -x et que -x = z" Et t ?
" ... (1,-1,-1) est une base de Ker f " Non, ce n'est même pas un élément de R^4. A repenser.
"L'application f est elle injective ? " Vu ce qu'est ker(f), la réponse est évidente (apprendre le cours).

Bon travail !

[invite0380ebeb]

2)une base du noyau est {(1,-1,-1,0)} donc de dimension 1, comme dim ker f = 1, alors ker f n'est pas réduit au vecteur nul et donc l'application n'est pas injective.
3) D'apres le théorème du rang on a bien dim im f = 3 puisque dim ker f=1, comme dim im f est de dimension 3, sa base sera engendré par 3 vecteurs ( famille génératrice et libre) sont rang est donc égale à 3. Pour la surjectivité: Que peut-on dire si la dimension de l'application est la même que celle de l'ensemble d'arrivé?

[PlaneteF]

Bonsoir,

2)une base du noyau est {(1,-1,-1,0)} donc de dimension 1

Non c'est faux.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0380ebeb]

C'est faux mais que-ce-qui serait juste?

[PlaneteF]

C'est faux mais que-ce-qui serait juste?

Vois-tu au moins pourquoi c'est faux ? ...

Cdt

[invite0380ebeb]

a vrai dire je ne connais pas grand chose a tout ça, je ne l'ai jamais étudié! Du moins pas encore.
Mais j'aimerai savoir par curiosité ce qui serait juste

[invite0380ebeb]

Mais tout en y connaissant rien j'ai eu le raisonnement suivant: Je me suis dit que puisque t ne fait pas partie des variables de l'application linéaire, alors t=0, donc je me suis dit qu'il suffisait d'écrire :{(1,-1,-1,0)} mais d'un autre coté la valeur nul de t me laisse penser qu'on a plus vraiment un vecteur qui fait partie de R4 mais plutot R3, donc on peut pas vraiment parler de base du noyau... Mais mon intuition n'est apparament pas suffisante !

[PlaneteF]

a vrai dire je ne connais pas grand chose a tout ça, je ne l'ai jamais étudié! Du moins pas encore.

... ?? ... Même si les résultats de ton message#3 sont faux, ce que tu dis dans ce message montre que tu as quand même déjà vu le sujet. Tu parles du théorème du rang, d'un théorème sur l'injectivité, etc ...

[invite0380ebeb]

Hmm oui, quand je dis que je n'y connais rien, c'est juste que j'ai lu quelque page internet sur ce sujet, mais je ne l'ai jamais étudié en cours ou serieusement chez moi. Est-il possible de savoir ou est-ce que j'ai eu faux? histoire de mieux comprendre...

[PlaneteF]

Mais tout en y connaissant rien (...)

Cf. mon message précédent.

(...) puisque t ne fait pas partie des variables de l'application linéaire (...)

(...) alors t=0 (...)

Dans ce cas là pourquoi pas

(...) mais d'un autre coté la valeur nul de t me laisse penser qu'on a plus vraiment un vecteur qui fait partie de R4 mais plutot R3 (...)

Mais mon intuition n'est apparament pas suffisante !

Il n'y a pas de secret, il faut commencer par étudier un cours sur le sujet.


Cdt

[invite0380ebeb]

certes, mais ça ne me dit toujours pas qu'elle serait la base du noyau..

[PlaneteF]

Est-il possible de savoir ou est-ce que j'ai eu faux? histoire de mieux comprendre...

La droite vectorielle que tu as proposé ne peut pas être le noyau de . Appartenir à cette droite vectorielle est une condition suffisante pour appartenir au noyau de mais cela n'est pas une condition nécessaire : Prend par exemple le vecteur qui appartient bien au noyau mais qui n'appartient pas à la droite vectorielle en question.

[PlaneteF]

certes, mais ça ne me dit toujours pas qu'elle serait la base du noyau..

Il est facile de montrer que :

Donc est isomorphe à (facile de trouver un isomorphisme entre ces 2 ev).

Donc ...

[invite0380ebeb]

Dans ce cas le noyau est un plan si j'ai bien compris ta formulation, peut être alors le noyau serait: (a, -a, -a, t) ou quelque chose comme ça?

[PlaneteF]

Dans ce cas le noyau est un plan si j'ai bien compris ta formulation, peut être alors le noyau serait: (a, -a, -a, t) ou quelque chose comme ça?

Cf. mon message précédent (je pense que ton message a croisé le mien !).

Sinon attention à ton écriture peu rigoureuse, regarde comment j'ai écrit ce résultat.

[invite0380ebeb]

on peut donc conclure que ker f est de dim 2 et donc que sa base est définis par un couple de vecteur?

[PlaneteF]

on peut donc conclure que ker f est de dim 2 et donc que sa base est définis par un couple de vecteur?

Alors quels sont les 2 vecteurs que tu proposes ?

[invite0380ebeb]

hmm je dirais e1=(1,0) et e2(0,1) c'est d'ailleurs la base canonique

[PlaneteF]

hmm je dirais e1=(1,0) et e2(0,1) c'est d'ailleurs la base canonique

Un peu d'attention stp, est un ss-ev de et toi tu donnes 2 vecteurs de

[invite0380ebeb]

ah oui pardon dans ce cas une base serait la famille de vecteurs: e1=(1,0,0,0), e2=(0,0,0,1) c'est juste?

[PlaneteF]

ah oui pardon dans ce cas une base serait la famille de vecteurs: e1=(1,0,0,0), e2=(0,0,0,1) c'est juste?

Non, c'est faux : et donc

[invite0380ebeb]

arg je ne comprends vraiment pas ! j'espère que quand j'aurais des cours dessus, tout cela deviendra plus clair pour moi :s

[PlaneteF]

arg je ne comprends vraiment pas ! j'espère que quand j'aurais des cours dessus, tout cela deviendra plus clair pour moi :s

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

[invite0380ebeb]

hmm j'imagine que pour que ma base soit valide il faut que que le vecteur de la base de mon noyau par l'application me redonne mon noyau.. mais je vois pas trop comment concretement on obtiendrait ça, possible d'avoir un exemple bien détaillé?

[invite0380ebeb]

aie aie aie ma comprehension est médiocre

[PlaneteF]

hmm j'imagine que pour que ma base soit valide il faut que que le vecteur de la base de mon noyau par l'application me redonne mon noyau..

Ce que tu dis là ne veut rien dire du tout.

[invite0380ebeb]

Ahah faire de l'algebre linéaire alors qu'on en a jamais fait je suis suicidaire
je fais une derniere tentative est-ce que la base formé des vecteurs : e1=(1,-1,-1,0) e2=(0,0,0,1) conviendrait? ou encore e1=(2,-2,-2,0) e2=(0,0,0,3) par exemple?
car apres tout quand on a f(e1)=(0,0,0) ça correspond bien à ce qu'on attends d'un noyau, et idem pour f(e2)=(0,0,0) ça signifie donc bien qu'on a une base correct du noyau.. C'est juste de le voir comme ça ou les notions sont encore trop mélangés? arg

[PlaneteF]

car apres tout quand on a f(e1)=(0,0,0) ça correspond bien à ce qu'on attends d'un noyau, et idem pour f(e2)=(0,0,0) ça signifie donc bien qu'on a une base correct du noyau..

En terme de justification ce n'est pas suffisant. Il faut aussi : soit justifier que la famille est libre, soit justifier qu'elle est génératrice (pour une famille de 2 vecteurs d'un ev de dimension 2, pas besoin de justifier les deux propriétés, une des deux suffit).

[invite0380ebeb]

5 mois plus tard et après avoir étudier un début de ce qu'est l'algèbre linéaire, je trouve mes anciens messages d'une telle tristesse...