Produit scalaire d'une transformation d'un vecteur le long d'une droite

[invitea2257016]

Bonjour à tous.

Voila en en faisant une petite révision concernant les notions d'équations de plans et de géométrie dans l'espace, je suis tombé sur une sorte de règle que je n'arrive pas à démontrer tout seul.
Je suis sûr que ce n'est pas dur à démontrer mais je ne trouve pas la propriété ou le théorème qui va me permettre de le faire.
Alors voici le dessins suivant:

*** Merci de respecter les règles du forum pour l'insertion d'images ***

J'ai remarqué que lorsque l'ont fait glisser le vecteur a le long d'une droite (ou d'un plan dans l'espace) on obtient toujours le même produit scalaire avec le vecteur u qui lui ne change pas.
Ainsi ici, on obtient a.u = b.u = c.u = d.u .

Par le calcul, cette règle me semble vraie, mais je n'arrive pas à la démontrer.

Pourriez m'expliquer comment on démontre cela je vous prie?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Ton dessin n'est pas très explicite, ce qui semble rendre faux ton affirmation :
Tu sembles dire que si A,B, C sont des points alignés, O un point et un vecteur, alors

Il est facile, en calculant des différences, de voir que c'est faux.
Par contre, si est orthogonal à la droite (ce n'est pas dit sur ton dessin), il est facile de démontrer ces égalités, c'est un exercice de niveau première.

Cordialement.

[invitea2257016]

Merci pour ta réponse.

Oui excusez moi, j'ai oublié de préciser que u est bien normal à la droite.
Donc on le démontre comment s'il vous plait?

Merci

[invite7d411dcd]

Tu peux écrire ton vecteur OM, M étant un point de la droite, dans une base (u ; v) orthonormale. Même sans ce formalisme, un peu de trigo résout le problème.

Bonne journée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Comme je te l'ai dit : Par différence.
Tu pars de

Tu passes tout dans un même membre, tu factorises.

Cordialement.

NB : les techniques que je te propose sont quand même extrêmement classiques, presque évidentes, non ?

[invite7d411dcd]

C'est vrai que AB.u est plutôt facile à calculer...

[invitea2257016]

Oui effectivement, c'était vraiment facile, je ne sais pas comment j'ai pu passer à côté de ça.
Pour ma défense, ça fait plusieurs années que je n'ai pas fait de géométrie...

Merci à tous.