Fonctions annulateurs d'endomorphisme autres que des polynômes ?

[invite97a526b6]

Bonjour,
Toute la question est dans le titre.
Je suppose qu'il y a d'autres fonctions que les polynômes qui annulent un endomorphisme.
Si c'est le cas, à quelles familles de fonctions appartiennent-elle ?
Si ce n'est pas le cas, pourquoi ?
Evidemment, si on se donne un endomorphisme idempotent u d'indice d'idempotence p, les polynômes X^kp l'annulent, donc la fonction racine carrée annule les endomorphismes u^2kp
Mais y-a-t-il des exemples mois triviaux c'est à dire non tirés de fonctions polynôme ?
Avant d'essayer de répondre à cette question, je me suis posé la question de savoir quels types de fonction peuvent s'appliquer à un endomorphisme. A part les polynômes, les fonction analytiques (développables en série entière) et des fonctions racine dans des cas particuliers, je n'ai pas trouvé.

Merci à qui pourra répondre à cette question, si elle a un sens...
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[invite97a526b6]

Remplacer idempotent par nilpotent

[invite33c0645d]

Il me semble que un ensemble d'applications sur l'espace des endomorphismes est justement ce que tu cherches. Si tu veux des exemples où l'on considère des fonctions d'application linéaire, intéresses toi au théorème spectral par exemple : il exprime le spectre d'un opérateur linéaire.

Si la question initiale est de savoir qu'elles sont les applications réelles qu'on peut étendre à un espace d'endomorphisme, c'est une question qui n'est pas évidente !

[albanxiii]

Bonjour,

Ca n'est pas précisé, mais vous vous placez en dimension infinie ?

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

je pense que je ne comprends pas bien la question,

mais on fait souvent l’exponentielle d'une matrice diagonalisable, et d'une manière générale on peut étendre une fonction analytique (ayant un développement en série entière) aux matrices diagonalisables : ça revient à appliquer la fonction aux valeurs propres.

[invite47ecce17]

Bonjour
Tu peux regarder du coté du calcul fonctionnel de Riesz.

[acx01b]

Bonjour
Tu peux regarder du coté du calcul fonctionnel de Riesz.

c'est marrant, c'est la même chose que j'ai dite mais en dimension infinie, c'est ça ?

[invite47ecce17]

Non, c'est tres loin de se limiter aux matrices diagonalisables meme dans le cas de la dimension finie.

[invite97a526b6]

Merci pour toutes ces réponses, mais ma question reste posée.

Ma question concerne les deux cas : dimension finie et dimension infinie.
La question préalable avant de chercher des fonctions annulatrices est de chercher quels sont les types de fonctions qui ont un sens quand on les applique à un endomorphisme. Une première réponse est "les fonctions analytiques". Mais y-en a-t-il d'autres ? Cela parait compliqué et dépendre de l'endomorphisme considéré (Ex: la fonction racine ne semble s'appliquer qu'aux endomorphismes nilpotent d'indice de nilpotence paire)...

[invite97a526b6]

J'ai trouvé des éléments de réponse dans:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_...nel_holomorphe

[invite33c0645d]

Cf ce que je disais plus haut :

Soit E un espace vectoriel (dimension finie ou non) sur un certain coprs K. Quels sont toutes la applications que l'on peut appliquer à un endomrphisme u fixé. Pour tout espace vectoriel $F$, par définition

,

est l'ensemble des applications auxquelles on peut appliquer notre endomorphisme $u$. Ensuite, tu cherches le noyaux de l'application



Avec ce formalisme, est l'ensemble des fonctions annulatrices de $u$ (contient au moins les polynômes annulateurs), et correspond à toutes les fonctions applicables à u, et qui sont à valeurs dans l'espace F. Je pense ne pas très bien comprendre la question...