solutions de b^T A b=0

[inviteb762ab8b]

Bonjour,

Je suis en thèse en traitement du signal, et je doute énormément sur les bases mathématiques.

Posons un vecteur colonne b de longueur p (complexe ou réel si c'est plus simple), une matrice A de taille pXp. J'ai besoin de trouver les vecteurs b répondant à la propriété : b'Ab=0.
Si je ne me trompe pas les vecteur b appartenant au noyau de A répondent bien à la propriété car b'A=0 si b \in ker(A). Cependant est-ce une équivalence?
Peut-on dire que toutes les solutions de l'équation appartiennent au noyau ?

Notes: det(A)=0 et A n'est pas symétrique.

Si quelqu'un avait une piste pour répondre à cette question il m'aiderait beaucoup !

Celeberyn
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[invite51d17075]

Si je ne me trompe pas les vecteur b appartenant au noyau de A répondent bien à la propriété car b'A=0 si b \in ker(A). Cependant est-ce une équivalence?
Peut-on dire que toutes les solutions de l'équation appartiennent au noyau ?

Si quelqu'un avait une piste pour répondre à cette question il m'aiderait beaucoup !

non tout élément de Ker(A) est solution car Ab=0 , mais cela ne décrit pas toutes les solutions qui satisfassent
Vect(b).Vect(Ab)=0 (produit scalaire ).

en sais tu d'avantage sur ta matrice ?
cordialement.

[inviteb762ab8b]

Bonjour,
Merci pour votre réponse, c'est bien ce que je me disais.
Vect(b).Vect(Ab)=0 est bien le produit scalaire entre b et Ab ?

J'ai fait quelques tests sous Matlab pour voir si ma matrice A avait quelques propriétés intéressantes, mais il semblerait que non. Une première chose que je ne comprend pas trop est que A est une matrice réelle, cependant quand je calcule ses valeurs propres Matlab me retourne des complexes.
A n'est pas hermitienne, je ne sais pas trop du coup comment déterminer si elle est définie positive ? Je considère la valeur absolue des valeurs propres ?

Si A était définie positive on aurait la propriété que b'Ab>0, donc les solutions de b'Ab=0 serait des minimum locaux, on pourrait donc s'en sortir en annulant la dérivée par rapport à b.

[inviteb762ab8b]

J'ai trouvé sur ce lien une façon de vérifier, je pense que c'est correct:
http://mathworld.wolfram.com/Positiv...iteMatrix.html

J'ai donc calculé les valeurs propres de qui ne sont malheureusement pas toutes positives... j'ai l'impression que je suis un peu coincée.

Edit: en fait ceci était prévisible étant donné que ma matrice est singulière

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

si est semi défini positive, alors , et implique que est un minimum local et global et ,
donc entre autre

c'est à dire que ou encore

après si est semi défini négative, c'est pareil mais dans l'autre sens,

et sinon si n'est ni semi défini négative ni semi défini positive ben je ne sais pas trop, peut-être en décomposant où est semi défini positive et est semi défini négative ?

Je n'avais pas vu " A n'est pas symétrique" dans ce cas oui c'est compliqué je pense, il faut faire un programme d'optimisation quadratique (simplexe ou points intérieur) pour trouver les points ?
Oui c'est ça en fait je suis sûr que ça devient un problème d'optimisation quadratique mais malheureusement ils sont beaucoup plus simples à résoudre quand A est justement symétrique et semi défini positive

Au fait, c'est dans quel problème pratique que tu as ça ?

[inviteb762ab8b]

C'est bien ce que je craignais, je ne vais pas pouvoir trouver de solutions exploitable simplement.
Mon problème est un test d'orthogonalité, b est un vecteur de paramètre d'un noyau que l'on peut exprimer sous la forme b' v, et sa dérivé peut être exprimée sous une forme similaire, du coup on obtient une forme b'Ab. Je cherche à minimiser une BCRB, et si l'on se place dans le cadre d'un noyau orthogonal à sa dérivée, on peut avoir des expressions simplifiés. J'aurais bien voulu réduire de la sorte l'espace des b envisageables comme solution (si ça avait été juste le noyau, on aurait pu avoir une liste finie et simple à calculer).
Si ce n'est pas exploitable je chercherais une autre piste pour optimiser mon problème. Mais c'était important d'être sûre avant d'abandonner.

Merci beaucoup pour ton aide !

[invite51d17075]

peut être en essayant de passer par une décomposition QR :
ou Q est une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire sup.

[acx01b]

bof,

tu ferais quoi avec ta QR ?

[acx01b]

J'ai trouvé sur ce lien une façon de vérifier, je pense que c'est correct:
http://mathworld.wolfram.com/Positiv...iteMatrix.html

J'ai donc calculé les valeurs propres de qui ne sont malheureusement pas toutes positives... j'ai l'impression que je suis un peu coincée.

Edit: en fait ceci était prévisible étant donné que ma matrice est singulière

mais non, une M matrice semi défini positive (aussi appelé opérateur linéaire auto-adjoint et sur un E.V. de dimension finie) c'est une matrice défini positive mais avec des valeurs propres nulles : donc dans ce cas M est singulière.

par contre une matrice semi défini positive est toujours symétrique, et est diagonalisable dans une base orthonormée et avec des valeurs propres réelles

c'est pour ça que souvent un problème avec une matrice (semi) défini positive se réduit à un problème avec une matrice diagonale après changement de base simple (orthonormé)

les matrices de covariance d'une variable aléatoire (que t'as dans une gaussienne en plusieurs dimensions par exemple) est toujours semi-défini positive

[acx01b]

* matrice de covariance d'un vecteur de variables aléatoires

[inviteb762ab8b]

Je ne vois pas trop non plus comment je pourrais utiliser la décomposition QR.

En effet une matrice semi définie positive aurait permis d'avancer, mais moi j'ai bien des valeurs propres négatives (il y en a 2 négatives, 18 positives et le reste proche de zéro).
Ma matrice est un peu bizarre, je crois que je ne vais pas pouvoir en faire grand chose...

En tout cas un grand merci à vous deux !