Lien entre espace affine et variété différentielle

[invited17825bc]

Bonjour,

Je suis étudiant en physique (3eme bac), la notion d'espace affine m'est familière, la notion de variété différentielle l'est un peu moins.

Existe-t-il un lien entre un espace affine et une variété différentielle? Notamment au niveau des vecteurs liés en un point P de l'espace affine: peut-on y voir un espace vectoriel tangent? Que signifient alors la généralisation des "classes d'équipollence" dans le cas d'une variété?

Un espace affine n'est-il finalement pas un "cas particulier de variété"?

Merci d'avance pour votre éclairage. Si vous avez quelques références/liens (les plus intuitives possibles, je ne cherche pas de rigueur excessive) sur le sujet, n'hésitez pas.
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[gg0]

Bonjour.

Si ton but est de comprendre ce que sont les variétés, tu es parti dans le mauvais sens. Effectivement, on peut considérer un espace affine réel comme une variété différentielle, mais ça ne dit pas ce qu'est une variété.
En dimension 1, cela revient à vouloir comprendre ce qu'est une courbe en partant de "une droite est une courbe particulière".

L'idée de variété différentielle généralise les courbes et surfaces simples, celles qui ont une tangente, ou un plan tangent. C'est donc la définition d'une variété (je dis "la", mais il y en a plusieurs, équivalentes) qu'il faut regarder de près, puis appliquer éventuellement à des objets "pas trop simples", mais pas trop compliqués : sphère, paraboloïde; intérieur d'une boule ouverte; tore, ruban de Möbius; etc.

Cordialement.

[Amanuensis]

Existe-t-il un lien entre un espace affine et une variété différentielle?

Oui. Comme indiqué dans le message précédent, tout espace affine est une variété différentielle.

Notamment au niveau des vecteurs liés en un point P de l'espace affine: peut-on y voir un espace vectoriel tangent?

Oui

Que signifient alors la généralisation des "classes d'équipollence" dans le cas d'une variété?

Cf. la notion de transport parallèle. Mais les espaces affines sont "plats", et donc particuliers ; leur particularité est que le transport parallèle d'un vecteur donne le même résultat quel que soit le chemin suivi entre les deux points, ce qui ne se généralise pas à une variété quelconque. La particularité en question permet d'identifier canoniquement les espaces vectoriels tangents, et donc de parler "d'un seul espace vectoriel".

Un espace affine n'est-il finalement pas un "cas particulier de variété"?

Oui, on le voit ainsi avec du recul. Mais le processus pédagogique est dans l'autre sens!