Différentielle : Démonstration du laplacien

[invite5dbdd728]

Bonjour !

J'ai un petit soucis avec une démonstration mathématique. Celle de l'expression du laplacien en coordonnées polaires.
Je dois montrer que :



Sachant que :
où et

Voici mon raisonnement :



On sait que : (pour la différentielle première)



On sait que : (pour la différentielle seconde)



Aussi, on a besoin de :



Donc avec toutes ces renseignements j'ai développer le membre de droite, (sans compter ), et j'ai obtenu :



Ensuite, même si je développe , je n'obtient pas d’égalité ... J'ai surement fait une erreur quelque part mais je ne sais où !
Quelqu'un aurait une idée s'il vous plait ?
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[invite93e0873f]

Il faut noter que et sont implicitement des fonctions de x et de y ; il faut les dériver s'il y a lieu.

1) Le cas facile.



2) Le cas plus difficile (à terminer)


Le reste a été fait dans le premier message. En principe, cela devrait le faire !

[acx01b]

et en 3D ça devient plus coriace, les calculs sont encore plus longs, mais c'est la même idée.
sinon tu peux aussi considérer uniquement les fonctions de la forme donc et vérifier l'égalité des laplaciens. le cas général se déduit de la transformée de Fourier 2D qui dit qu'on peut exprimer la plupart des fonctions comme "sommes" de fonctions de cette formes, et le Laplacien étant linéaire..