Echantillonnage d'un signal continu - démonstration

[fabio123]

Bonsoir,

après pas mal d'années, je me replonge dans mes cours de traitement du signal et je rencontre un problème, qui à l'époque me semblait-il, n'en était pas un.

Sur le plan mathématique, quand on écrit qu'un signal échantillonné est égal au produit du signal continu par un peigne de dirac, c'est à dire :



est-ce que représente une suite de points ayant la valeur avec ?

On peut prendre par exemple la définition d'un dirac comme :



Si est une suite de points de la forme, c'est-à-dire une fonction discrète ayant pour valeurs avec les abscisses , comment faire la démonstration en partant de la définition d'un dirac ci-dessus et après d'un peigne de dirac ?

Merci par avance
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[acx01b]

est-ce que représente une suite de points ayant la valeur avec ?

c'est une "fonction" nulle sauf aux points d’échantillonnages, et en chacun de ces points il y a un Dirac dont la "hauteur" correspond au signal discret. vu qu'il y a des Dirac, c'est une distribution pas vraiment une fonction.

tu l'avais vu cours, c'est une suite de flèches (comme ça qu'on représente un Dirac) chacune de hauteur différente.

cette "astuce" permet d'unifier signaux continus et signaux discrets, et entre autre d'utiliser la transformée de Fourier des fonctions/distributions plutôt que la transformée de Fourier discrète.

c'est comme ça qu'on prouve le théorème de Shannon (multiplier par un peigne de Dirac en temporel revient à convoluer par un peigne de Dirac en fréquentiel, donc à périodiser le spectre de période Fe=1/Te) , ou qu'on peut voir l'aliasasing causé par un trop faible échantillonnage (la périodisation donne lieu à un recouvrement du spectre si celui-ci était plus large que Fe).

[acx01b]

comment faire la démonstration en partant de la définition d'un dirac ci-dessus et après d'un peigne de dirac ?

la démonstration de quoi ?

et ta définition du Dirac est "étrange", utilise plutôt la fonction indicatrice d'un intervalle :

[fabio123]

Oui excusez-moi, la définition de ma fonction de dirac n'est pas bonne.

Par contre, quand acx01b dit :

c'est une "fonction" nulle sauf aux points d’échantillonnages, et en chacun de ces points il y a un Dirac dont la "hauteur" correspond au signal discret.

C'est justement ce que je ne comprends pas, comment démontrer par exemple que la valeur ( la "hauteur" dont acx01b me parle) de la fonction en soit égale à ? est-ce que je peux écrire :

?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Fabio123.

Considérer comme une fonction ne peut que t'embrouiller, car les Diracs ne sont pas des fonctions (ce sont des "distributions" et n'ont pas de "valeurs".
Pour éclaircir ce qui se passe, il faut savoir que la principale utilité de cette façon de faire est de pouvoir intégrer, par exemple calculer une transformée de Fourier.
Si on échantillonne un signal x, on obtient une suite de valeurs, les (dans ton message, tu as pris t₀=0). Si la fonction est un peu lisse, et l'échantillonnage assez serré, on représente assez bien l'essentiel de la fonction, on peut même faire une intégrale approchée assez précise (*).
Mais pour appliquer la TF, on coince, puisqu'on n'a pas une fonction, mais une suite. On utilisera alors une distribution (généralisation de fonction) obtenue en multipliant la valeur par un Dirac au point considéré (et généralement un facteur correctif) et en additionnant tous ces termes. Un Dirac n'ayant d'influence qu'au point où on la calcule, en un x₀+kT, un seul Dirac de la somme est utilisé, et les autres termes ne servent pas.
Mais calculer x_e en T, comme tu le fais n'a pas d'intérêt, puisqu'il ne s'agit pas d'une fonction.

Par contre, si tu as entendu parler de sommes de Riemann (ou d'intégration approchée par la méthode des rectangles), regarde ce que ça donne si tu échantillonnes un signal x sur [0;1] tous les 1/n, quand tu intègres x_e sur [0;1].

Cordialement.

(*) Dans un cadre d'échantillonnage physique, on ne mesure pas le signal en un temps nul, il faut un certain temps (minime par rapport à T) pour obtenir un résultat, et on obtient une valeur moyenne au voisinage du temps considéré.

[acx01b]

quelques précisions

C'est justement ce que je ne comprends pas, comment démontrer par exemple que la valeur ( la "hauteur" dont acx01b me parle) de la fonction en soit égale à

au voisinage de , le signal (qui est une distribution pas une fonction, on est d''accord?) échantillonné est un Dirac,

et pour "mesurer" la hauteur du Dirac il faut intégrer au voisinage (je te mets tous les détails du "calcul") :

puisque tu sais que le principe du Dirac c'est que


le principe de distribution, enfin plutôt de Dirac permet de généraliser le principe de fonction et d'unifier (utiliser le même formalisme, et la même transformée de Fourier) signaux continus et discrets.

ça va ? tout est parfaitement clair ?

[acx01b]

au fait, pourquoi tu te replonges dans tes cours de traitement du signal ?
tu fais tu traitement du signal numérique ou analogique ? tu as un problème concret ?