Syracuse et les cycles

[invite33c0645d]

Bonjour à tous, je voulais avoir quelques documents sur la conjecture de Syracuse.

Plus précisément, j'entend assez souvent qu'on s'intéresse aux cycles possibles de cet algorithme, mais je n'ai toujours pas compris en quoi prouver qu'il n'existe pas de cycle de longueur plus grande que 3 prouve la conjecture de Syracuse, à savoir : à partir d'un certain rang on tombe sur le cycle trivial (4, 2, 1).

Ne faut-il pas en plus démontrer que la suite est périodique à partir d'un certain rang ?

Merci pour vos réponses.
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[Médiat]

Bonjour,

j'entend assez souvent qu'on s'intéresse aux cycles possibles de cet algorithme, mais je n'ai toujours pas compris en quoi prouver qu'il n'existe pas de cycle de longueur plus grande que 3 prouve la conjecture de Syracuse.

Comment voulez-vous que l'on vous réponde, sans en savoir plus ? Vous dites n'avoir pas compris un texte dont vous ne donnez pas la référence ...

[Deedee81]

Salut,

En l'absence de plus d"info :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse

En bas il y a quelques sources, liens,... Et il y a en a bien plus encore dans la page du Wikipedia en anglais.

[invite33c0645d]

je me suis sans doute mal exprimé. Je n'ai justement pas de documents et j'en cherche. Je reformule donc ma question :

Avez-vous un document mathematique qui prouve le fait que la conjecture de Syracuse se déduit de l'unicité des cycles potentiels?

Cette phrase est sans doute peu claire. Disons plutot : A-t-on une preuve de l'affirmation suivante:
Si il n'existe pas de cycle de longeur plus grande que 3 alors la conjecture de Syracuse est demontree.

Merci pour m'avoir aidé à affiner ma question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Il est clair que s'il y a un cycle plus grand il ne passe pas par 1 et donc la conjecture est fausse. Mais j'aurais pensé qu'une possibilité à ne pas écarter est le fait qu'une séquence "file à l'infini".

Je ne connais donc pas cette démonstration.

Et ils ne signalent pas ce genre de chose sur Wikipedia (au contraire, ils citent aussi cette possibilité au début).

P.S. Si tu n'as pas de document, où est-ce que tu as "assez souvent" entendu dire ça ???

[invite33c0645d]

J'entend ceci avec mes oreilles ! En effet, on me parle de l'interet de montrer qu'il nexiste pas de cycle de longueur plus grande que 3. Vu qu'il m'est conseillé le magnifiqie document images.cnrs... (wikipedia fr), je vais en parler : la serie des trois pages s'interresse a justement prouver qu'il n'y a pas de cycle de longueur plus grande que 3 (mais est-ce suffisant ?!). Un recent travail prouve qu'il n'y a pas de cycle de mongueur plus grande que 3 en testant la conjzcture pour les nombres plus petit que 5×10^18, etc...

La question : pourquoi s'interesse-t-on de si pres a ces cycles, si l'etude de ces cycles ne permet pas la resolutio de la conjecture ?

D'où ma question : actuellement doit-on se dire que ne pas pouvoir trouver de cycle de longueur plus grande que 3 est rassurant. Puis une fois ce resultat prouvé il manque encore la preuve du fait qu'il n'existe pas d'entier non nul dont la suite de syracuse associee par a linfini ?

Je ne trouve pas evident à montrer l'affirmation de mon message precedent. En revanche la suivante me parait claire a savoir:
Si il n'existe pas de cycle de longueur 3 ET que toute suite de Syracuse est bornee, Alors la conjecture de Syracuse est verifiee.

Merci pour vos reponses, je pense qu'en effet il n'y a actuellement pas la preuve du fait qu'il suffise de n'avoir qu'un unique cycle trivial pour prouver la conjecture.

[invite93e0873f]

Pour autant que je sache, c'est un autre problème ouvert de déterminer si tout « vol de Syracuse » est « d'altitude » finie. Pour qu'un vol ne tombe pas éventuellement dans un cycle, il faudrait effectivement que ce vol soit d'altitude infinie.

[Deedee81]

Ok, merci. Je laisse les meilleurs connaisseurs que moi prendre le relais.

[invite33c0645d]

Bonjour, veuillez pardonner mon abscence de réponse.

Je vous remercie dans un premier temps pour ces précisions. Pour conclure la discussion, la conjecture de Syracuse pourrait être démontrée en deux temps.

-> Montrer que tout vol de Syracuse est périodique à partir d'un certain rang (ou bien d'altitude finie).
-> Montrer qu'il n'existe pas de cycles éventuel de longueur plus grande que trois.

Une fois ces deux affirmations prouvées, la conjecture de Syracuse n'est plus un mystère. C'est donc pour cela qu'on cherche à montrer qu'il n'existe pas de cycle de longueur plus grande 3.

Merci pour les précisions.