Théoreme Fermat lorsque l'anneau est factoriel

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Bonjour

J'ai souvent lu que lorsque l'anneau des entier cyclotomique est factoriel on peut résoudre le théorème de Fermat pour le degré correspondant.

Par exemple pour 3, x³+y³ se factorise en (x+jy)(x+j*j*y)(x+y)

Comme c'est un cube chacun des termes du produit est un cube car il sont premier entre eux et de la on déduit l'impossibilité.
J'aurais eu deux questions (si quelqu'un connait) .
Comment démontrer que les termes du produit sont premier entre eux?
Et si chacun d'eux est un cube comment arriver à une contradiction.

D'avance merci
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[invite0e4eb0c1]

En regardant les anciens posts (ce que j'aurais du faire avant..)
J'ai trouvé cette référence http://www.math.ens.fr/~debarre/Algebre2.pdf
Début chapitre III il parle des tentatives de trouver le theorème de Fermat en considérant parfois faussement les anneaux comme factoriels.
Les éléments de la décomposition ne sont pas toujours premiers deux à deux sauf si p divise xyz?
Lorsque l'ont a démontré que c'était des cubes il faut faire une descente infinie assez difficile qu'il ne précise pas.

[invite9dc7b526]

Il me semble que c'est expliqué en détail dans le livre de Harold Edwards, Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory (Springer).