Bonsoir,
dans mon cours il est dit que si je considère un anneau factoriel A, K son corps de fraction, alors si je prend un polynôme non nul de K[X] il va exister un k inversible de K tel que kP ait des coefficients dans A et soit primitif et ce k est unique à multiplication par un inversible près.
Voila avez-vous des exemple qui pourrait illustrer ce théorème ??? parce que honnêtement je n'en vois pas et j'ai beaucoup de mal à m'imaginer cela.
Merci beaucoup !!!
si j'ai bien compris, avec Z comme anneau :
P(X) = 2/3 X + 2/9
Q(X) = 9/2 P(X) = 3X + 1 est primitif dans Z[X]
on aurait pu prendre -9/2 à la place de 9/2
maintenant avec Z + iZ comme anneau :
P(X) = 2/3 X - i 2/9
Q(X) = 9i/2 P(X) = 3iX + 1 est primitif dans Z[X]+iZ[X]
à la place de 9i/2 on aurait pu prendre 9/2 ou -9/2 ou -9i/2 : il est unique à un inversible (de l'anneau) près
(on fait appel à l'équivalent du PPCM des dénominateurs des fractions / PGCD des numérateurs)
Dernière modification par acx01b ; 31/12/2013 à 01h40.
ce qui est marrant c'est que Z[X] est lui même un anneau factoriel
tu pourrais trouver un exemple avec l'anneau des polynômes à coefficients dans Z[X]
(et l'anneau des polynômes à coefficients dans le corps des fractions sur Z[X])
Re et merci de vos réponses,
dans la démo de cette proposition, il est pris k commeje me demandais si je pouvais trouver un tel polynôme qui ait certains coefficients dans A et les autres dans K ?
Bonsoir j'ai répondu à ma question
Simplement il me reste un point obscur,
il y a dans mon cours ce théorème:
A anneau factoriel, K le corps des fractions de A. Soient P, Q deux éléments de A[X] tels que:
-P divise Q dans K[X]
- P est primitif
Alors P divise Q dans A[X]
jusque là tout va bien, la preuve est la suivante
On écrit Q=PR dans K[X] par hypothèse, donc kQ=P(kR) Comme kR et P sont primitifs kQ est primitif. Comme (1/(c(Q))*Q est primitif on en déduit k*c(Q) est inversible dans A. jusque là je comprends mais c'est là que je ne comprends pas pourquoi il est affirmé juste ensuite "donc R appartient à c(Q)A[X] inclus dans A[X]"
pourquoi "R appartient à c(Q)A[X]" ?
Merci de votre aide encore
