Corps quotient d'un idéal de Gauss

[invitedf72ed21]

Bonjour,

une petite question sur les entiers de Gauss :

Soit x un entier de Gauss premier. (de la forme a + i.b, avec a,b entiers relatifs).

Soit K = Z[i]/ (x) le corps quotient de Z[i] par l'idéal maximal (x).

Existe t-il une formule donnant le nombre d'éléments de K en fonction de x ?
K est un corps fini donc son cardinal est de la forme p^m, avec m entier et p un entier premier.
Mais quelle formule lie p, m et x ?

Merci d'avance pour vos réponses.

David
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[invitedf72ed21]

Bonjour,

Après un peu de réflexion, cardinal(K) = Norme(x), c'est tout simple ...
pour tout x, y entiers dans [0, Norme(x)[ tels que x != y, on a forcément classe(x) != classe(y) dans Z[i]/(x).
De plus si y >= Norme(x), il existe r dans [0, Norme(x)[ tel que classe(r) = classe(y).
Et de plus si x = a + i.b, il existe c entier tel que c.b = -1 modulo Norme(x) donc
i = c.a dans Z[i]/(x).