Corps quotient

[invite2b14cd41]

Bonsoir,
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi il est "clair que" F2[X]/(1+X+X^2) est un corps de dimension 4...
En fait j'ai du mal avec la notion d'anneau ou de corps quotient, vu que nous n'avons pas encore vraiment vu cela en cours. Mais, par analogie avec Z/pZ, je pense que les éléments de cet ensemble sont classes d'équivalences pour la relation de divisibilité par 1+X+X^2 dans F2...
Et je n'arrive pas à montrer qu'il ne contient que 2 éléments...
Je vois bien que ce polynome est irréductible dans F2, mais après ?
Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Le corps F₂[X]/(1+X+X²) a 4 éléments qui sont, en notant x la classe de X : 0, 1, x, 1+x.
Ces éléments s'additionnent comme des polynômes, en pensant que les coefficients appartiennent à F₂, donc :
1+1=0, et x+x=(1+1)x=0.
Ces éléments se multiplient comme des polynômes, en pensant que, par passage au quotient :
1+x+x²=0, donc x²=-(1+x)=1+x.

[invite2b14cd41]

Le corps F₂[X]/(1+X+X²) a 4 éléments qui sont, en notant x la classe de X : 0, 1, x, 1+x.
Ces éléments s'additionnent comme des polynômes, en pensant que les coefficients appartiennent à F₂, donc :
1+1=0, et x+x=(1+1)x=0.
Ces éléments se multiplient comme des polynômes, en pensant que, par passage au quotient :
1+x+x²=0, donc x²=-(1+x)=1+x.

Merci. Vous démontrez ainsi que les 4 éléments (munis des lois "induites" sur les classes d'équivalences) forment bien un corps.

Pour prouver qu'il n'y a que 4 éléments possibles, il suffit de prendre tous les polynomes dans F2[X] de degré 0 ou 1 (qui sont bien premiers entre eux 2 à 2), car si deg(P)>1, on peut retrancher du (1+X+X^2) et donc se ramener au cas précédent, est-ce bien cela?

[invite57a1e779]

Pour prouver qu'il n'y a que 4 éléments possibles, il suffit de prendre tous les polynomes dans F2[X] de degré 0 ou 1 (qui sont bien premiers entre eux 2 à 2), car si deg(P)>1, on peut retrancher du (1+X+X^2) et donc se ramener au cas précédent, est-ce bien cela?

C'est cela, à la précision que, si deg(P)>1, on ne retranche pas 1+X+X².
Dans l'ensemble quotient, tout polynôme P appartient à la classe de son reste R dans la division euclidienne par 1+X+X².
Pour décrire le quotient, il suffit donc d'utiliser les restes qui sont de degré au plus 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b14cd41]

C'est cela, à la précision que, si deg(P)>1, on ne retranche pas 1+X+X².
Dans l'ensemble quotient, tout polynôme P appartient à la classe de son reste R dans la division euclidienne par 1+X+X².
Pour décrire le quotient, il suffit donc d'utiliser les restes qui sont de degré au plus 1.

Merci beaucoup.