Differentielles

[invite08bfa135]

Bonjour.
Je bloque sur le sens de la differentielle, je sais bien que c'est un objet mathématique qui donne une déscription du comportement d'un fonction et ceci en explicitant ses variations par rapport à chaqune de ses variable. Mais poutant, je bloque sur son sens comme application agissant sur le meme domaine d'activité de sa fonction. Prenons une fonction de Rn dans Rm, de façon generale. Sa differentielle est la matrice Jacobienne, on parle la Jacobienne en un point X0 par exemple ( on remplace la variable dans les fonctions de la matrice par X0 ) PUIS on l'applique à un vecteur h par exemple de Rn. Dans tout ça, je ne comprend pas ce que veut dire le vecteur de Rm obtenu en appliquant la Jacobienne à h.
Merci d'avance de prendre la peine de lire ce texte et essayer d'aider.
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

La Jacobienne peut être vue comme une application linéaire car c'est une matrice (et à toute matrice on peut associer une application linéaire). La Jacobienne représente le (hyper-) plan tangent au point a0 (qu'il faut fournir pour calculer le plan tangent). On peut ensuite appliquer la Jacobienne à un vecteur h, ce qui retournera un point du (hyper-) plan tangent dans la direction h.

[invite08bfa135]

Bonsoir
Je m'excuse, mais je ne comprend pas comment est-ce que la jacobienne represente le plant tengent au point.
Merci

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Pour être plus exact, la Jacobienne permet de trouver la pente que fait le plan tangent (et, par extension, l'équation du plan tangent) dans une direction donnée. C'est une généralisation de la dérivée qui permet de trouver la pente de la tangente (et l'équation de cette tangente) en un point d'une courbe.

Plus explicitement et par exemple, si je ne me trompe pas:

Soit , une fonction différentiable en .
Soit sa Jacobienne.

Alors l'équation du plan tangent de en est:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite08bfa135]

Bonsoir,
Jr vous remércie pour toutes vos explication. Je crois que je devrais avancer un peu plus dans le cour pour y voir plus claire. Merci encore.