Combinaisons des allongements de trois moteurs pour déplacer une plateforme : changement de base

[invite9a51f22e]

Bonjour tous le monde,
Cela fait deux jours que je bloque sur une problématique. J'ai trois moteurs piezo linéaires disposé à 120 degrés par rapport au centre d'un cercle (voir schèma) chaque moteur à une seul degrés de liberté ( delta Zi). sur ces trois moteurs est posée une plateforme dont le repère cartésien est ( X Y Z ) défini en rouge sur le schéma. L'objectif est de combiner les allongement des trois moteurs pour générer trois degrés de liberté au niveau de la plateforme posée sur les moteurs : une rotation autour de son axe x , une rotation autour de son axe y et une translation delta Z ( présentés en bleu sur le schéma). Ces trois degrés de libertés sont censé être obtenus en combinant les allongement des trois moteurs. Je sais que je dois définir l'allongement de chaque moteurs delta_z1, delta_z2, et delta_z3 en fonction de teta_x teta_y et delta_z de la plate forme, et calculer la matrice de passage en faisant un changement de base mais étant pas trop bon en géométrie , je doute un peu de mes calculs pour définir les équations de départ. quelqu'un pourrait me filer un coup de main s'il vous plait ?


j'ai présenté la matrice de passage que j'ai obtenu avec mes calculs avec le schèma dans un fichier JPEG.
D'avance merci pour votre aide
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[mécano41]

Bonjour,

Il y a probablement des méthodes qui dépassent mes connaissances mathématiques pour résoudre cela mais, comme tu n'as pas eu de réponse, je mets ce que je me suis amusé à faire selon mes connaissances...en supposant que j'aie bien compris la demande...Tu as les explications dans une feuille et les calculs d'application dans l'autre.

J'ai tenu compte d'un point non évoqué (voir sphère...mais c'est de la mécanique pas des maths!) mais il est prévu de l'annuler.

Cordialement

[invite9a51f22e]

Bonjour,

Il y a probablement des méthodes qui dépassent mes connaissances mathématiques pour résoudre cela mais, comme tu n'as pas eu de réponse, je mets ce que je me suis amusé à faire selon mes connaissances...en supposant que j'aie bien compris la demande...Tu as les explications dans une feuille et les calculs d'application dans l'autre.

J'ai tenu compte d'un point non évoqué (voir sphère...mais c'est de la mécanique pas des maths!) mais il est prévu de l'annuler.

Cordialement

Bonjour mécano 41

Tout d'abord , je vous remercie infiniment pour la clarté et le niveau de vos explications. Votre réponse m'a permis de cerner la problématique ...ce que je n'ai pas réussi à comprendre dans les livres de mécanique ( étant donné que je suis électronicien).
Si j'ai bien compris , à l'aide des angles de bryant (deux angles dans notre cas vu que l'angle autour de l'axe Z est nul) , il faut définir la matrice de passage permettant le passage du plan mobile (xyz) au plan fixe (uvw). Cette matrice de passage est donc formée des trois vecteurs unité Ox ( ux,vx,wx), Oy ( uy,vy,wy) et Oz (uz,vz,wz). Une fois les 3 vecteurs unités définis , on détermine l'équation du plan mobile à partir du vecteur normal OZ et les trois points des moteurs (ui, vi,wi) exprimés aussi dans le repère fixe ( à l'aide des rotations gama1 gama 2 et gama3). Cette définition doit satisfaire un produit scalaire nul entre le vecteur normal (Oz) et les trois points des moteurs. Tout calcul fait, il sera possible d'exprime les coordonnées wi en fonction des deux rotations et de la translation verticale. si on veut définir les degrés de liberté de la plateforme mobile en fonction des allongements des moteurs on inverse juste la matrice de passage (principe de la cinématique direct et la cinématique inverse).
Cependant, j'ai remarqué dans votre calcul des allogements wi (feuille d'explication) que vous ne tenez pas compte de la translation (QO), je suppose qu'il s'agit d'un oubli ? (étant donné que vous l’incluez par la suite dans feuille de calcul) le vecteur QO est indispensable pour synchroniser les trois moteurs et faire un déplacement vertical de la plateforme une fois les rotations figées).
Encore merci beaucoup pour votre aide.
Mes salutations
Younes

[mécano41]

Bonjour,

Pour la matrice de passage : elle est déterminée selon calcul joint.

Pour le déplacement vertical : effectivement, je ne l'ai pas mentionné dans la feuille définition car il n'intervient qu'à la fin. En revanche, il est bien pris en compte dans la feuille Calculs (3 cellules vertes).

Pour le modèle inverse je ne pourrai pas t'aider mais je pense que la matrice inverse ne suffit pas.
La matrice de passage vue plus haut permet de définir dans le repère initial les coordonnées de vecteurs du repère final ; la matrice inverse, permet de trouver dans le repère final les coordonnées de vecteurs du repère initial.
Mais ce que tu cherches, semble-t-il, ce sont les deux angles de rotation. Je pense qu'après avoir trouvé les vecteurs à l'aide de la matrice inverse, il y aura à résoudre un système d'équations (9?) de la forme a_i.cos(alpha)+b_i.sin(alpha)=c_i et a_i.cos(phi)+b_i.sin(phi)=c_i . La forme des solutions est connue ; il y aura des solutions à éliminer. A mon avis, cela ne va pas être simple (surtout si tu le fais en symbolique - pour voir, j'ai inversé la matrice sur Maxima, le résultat n'est déjà pas triste!) ...Enfin peut-être y-a-t-il d'autres méthodes...comme je te l'ai dit je suis très limité...dans un seul plan et donc avec un seul angle ça va...!

Bon courage

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a51f22e]

Bonjour mécano 41,
Effectivement , je cherchais à calculer es allongements en fonction des rotations de la structure mobile et votre aide m'a été précieuse car j'ai pu implémenter ça sur Labvieuw et tester le programme sur les moteurs. ça marche impeccable. Pour la cinématique inverse vous avez raison , il faut procéder autrement en travaillant dans les repères des moteurs et en passant par le calcul du Jaccobien... (c'est tout un autre calcul)...mais ce n'est pas ce que je cherche dans mon cas.
Encore merci pour votre aide.
Bien cordialement