Espaces vectoriels

[Paul.H]

Bonjour,

Je m'entraîne sur les espaces vectoriels mais un exercice me pose problème.

Voici l'énoncé :
Soit a et b deux réels distincts. On désire déterminer une solution de l'équation (E_n) d'inconnues A_n(X) et B_n(X) éléments de R_n-1[X] : (X-a)ⁿA_n(X) + (X-b)ⁿB_n(X) = 1

1 - Montrer que si (E_n) admet un couple de solution alors celui-ci est unique.
2 - On considère les ensembles : F = {(X-a)ⁿP(X) | P appartient à R_n-1[X]} et G = {(X-b)nP(X) | P appartient à R_n-1[X]}.
(a) Vérifier que F et G sont deux espaces vectoriels dont on précisera la dimension.
(b) Déterminer F inter G. En déduire la dimension de F+G.
(c) En déduire que (E_n) admet une unique solution.

3 - (a) Montrer que : Il existe P_n(X) appartient à R[X] tel que pour tout x appartenant à l'intégrale de x à a de ((t-a)(t-b))^n-1 dt = (x-a)ⁿP_n(x) (préciser le degré de Pn)
(b) Etablir l'identité : Pour tout x appartenant à R , (x-a)ⁿPn(x) + (b-x)ⁿPn(a+b-x) = (b-a)ⁿP_n(b).
(c) Exprimer le couple solution de (E_n) en fonction du polynome P_n.

Les autres questions, j'ai pu y répondre, mais celles citées ci-dessus me pose problème. J'aimerais comprendre et réussir cet exercice car je pense qu'il résume bien le chapitre des espaces vectoriels.

Merci de votre aide.

Cordialement,
Paul
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[gg0]

Bonjour.

Conformément à la règle du forum (lire http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html), dis-nous ce que tu as fait ou essayé; il y a des questions purement techniques, qui donc ne posent aucune difficulté.
Précise aussi ton niveau de connaissances, car certaines questions sont simples si on connaît l'arithmétique des polynômes.

Cordialement.

[Paul.H]

Les questions présentent ici sont celles que je n'ai pas réussi.
L'exercice est en 2 partie indépendante, j'ai réussi la première mais pas la deuxième. Les questions ci dessus relève de la deuxième partie.

J'ai passé plusiers heures sur cet exercice mais tout mes essaies restent infructueux.
Pour la première question, j'ai trouvé le PGCD qui est égal à 1 mais je n'ai pas réussi à conclure.

Toutes les questions présentes ici, même d'ordre technique,

Je suis en Licenxe 2 où j'ai des maths appliqués, j'ai changé de filière cet année. J'étais en Licence 1 en économie donc pas de maths l'année dernière. Mais, je m'accroche et je suis motivé.

[gg0]

Bon, alors de la technique :

* pour montrer qu'il n'y a qu'un ... on suppose qu'il y en a deux et on montre que c'est le même; ou qu'il y en a deux distincts et on montre que c'est contradictoire avec les hypothèses.
* pour montrer qu'une partie est un sev, on montre qu'elle est non vide, et qu'une combinaison linéaire quelconque de deux éléments quelconques est dans la partie (on peut se contenter de prendre deux éléments x et y et un réel k et on justifie que x+ky est dans la partie).

A toi de bosser. Si tu n'as pas appris ça l'an dernier et que c'est utilisé maintenant, il va te falloir faire le travail que les autres ont fait : apprendre les bases. Ce qui ne se fera pas sur un exercice aussi global; ni même en lisant un corrigé de ce devoir (tu ne sauras même pas quels théorèmes sont appliqués).

Autre chose : L'égalité du départ est une relation de Bézout, mais ce qui est particulier, c'est que les coefficients des deux polynômes premiers entre eux, (x-a)ⁿ et (x-n)ⁿ sont de degré limité.
Cependant, on peut faire la question 1 sans cette idée.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paul.H]

Je te remercie gg0.

Oui je n'ai pas vu certaines notions l'année dernière et je me dois te rattraper.
Cet exercice est un exercice d'entraînement que j'ai choisi pour pouvoir comprendre tous ces mécanismes et théorèmes qu'il y a derrière. Les exercices plus "basiques" sur ces mêmes notions ne m'ont pas tellement poser de problème mais cette exercice-ci est un vrai casse tête pour moi. J'ai passé toute ma journée dessus.

Pour la question 1, avoir trouvé le PGCD ne sert à rien ?

La deuxième question ne peut se résoudre qu'après avoir résolu la première non ?

Pour la 3, quelles sont les démarches à suivre ?

Cordialement,

[gg0]

"Pour la question 1, avoir trouvé le PGCD ne sert à rien ?" Je n'en sais rien. mais si ça ne te permet pas de conclure, ça ne te sert à rien.
"La deuxième question ne peut se résoudre qu'après avoir résolu la première non ?" Je n'ai pas fait l'exercice, mais une bonne partie au moins en est indépendante.

Je ne sais pas où tu as trouvé cet énoncé, mais il me semble plutôt difficile pour un niveau fin de L1 maths (que tu n'as pas). Est-ce vraiment utile d'y passer tant de temps ? D'autant qu'il ne traite pas fondamentalement d'algèbre linéaire (mais en utilise certains résultats).

Cordialement.