Exercice polynome, racine de l'unité

[invite0380ebeb]

Bonjour, je suis bloqué dans un DM de math, j'aurais besoin d'aide svp...

Racine n-ème de l'unité, sauf 1.

Soit le polynome: P(X)= 1+X+X2+X3+...+X9+X10

1. Est ce que 1 est Racine de P(X)?
De toute évidence non, car P(1)=11

2. Soit w une racine 11ème de l'unité différente de 1. Combien vaut P(w)?
Bon bah on remplace on trouve : p(w)=1+w+w2+w3+...+w9+w10

On a donc 10 racine distinctes de P(X) à savoir:w, w2, w3,...,w10


3.Factoriser P(X):

Donc comme j'ai mes racines du polynome je peux factoriser:

(X-w1)(X-w2)...(X-w10)Q(X) J'ai donc mon polynome qui est factorisé avec mes différentes racine 11ème de l'unité, avec Q(X)=1
donc on a bien : (X-w1)(X-w2)...(X-w10)= 1+X+X2+X3+...+X9+X10

4.Rappeler la valeur de P(1). En exploitant la factorisation trouver au 3. montrer qu'on a également:

P(1)=((-1)^10)(2^10)(i^10)(e^ipi/11(1+2+3+...+10))sin(pi/11)sin(2pi/11)...sin(10pi/11)


Voilà, je suis un peu bloqué sur la 4. Pourriez vous m'apporter un peu d'aide rapidement? Et me dire si les questions 1,2 et 3 sont bien traitées et comprises


Merci d'avance !
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[PlaneteF]

2. Soit w une racine 11ème de l'unité différente de 1. Combien vaut P(w)?
Bon bah on remplace on trouve : p(w)=1+w+w2+w3+...+w9+w10

Bonjour,

a une valeur bien plus remarquable que cela.

Indice : Tu peux penser à la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

Autre indice : Par définition,


Cordialement

[invite0380ebeb]

Oui j'ai pensé à cela, mais je ne vois pas trop en quoi ça va m'aider pour le 4.

1+w+w1+w2+...+w9+w10=1-w11/1-w, comme w11=1 alors p(w)=0

Mais j'ai du mal à voir le lien avec la 4.

[PlaneteF]

Oui j'ai pensé à cela, mais je ne vois pas trop en quoi ça va m'aider pour le 4.

Ben déjà ça t'aide à donner la réponse attendue à cette question

=1-w11/1-w

Là tu viens d'écrire :

Mais j'ai du mal à voir le lien avec la 4.

Oups on est en train de m'attendre là ... I need to go! ... D'autres forumiens pourront certainement t'aider. @+


Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

La clef du problème est dans la question 2. Ce que tu as écrit n'a pas bien de sens (C'est quoi w2 ? w₂ ou w² ? et que veut dire la suite "on a donc ..." ?)
Je n'ai pas compris où tu as trouvé tes racines à la question 3 ? Puisque tu n'as pas fait la question 2, c'est très bizarre.
Donc il y a au moins un gros problème de rédaction de tes réponses, voir plus.

Sinon, la 4), tu y a déjà en partie répondu, puis il te suffit d'utiliser la question 3 avec x=1.

NB : pour les exposants ou indices, le "mode avancé" ou passer par "répondre" permet d'avoir les boutons correspondants.

Cordialement.

[invite0380ebeb]

Oui jme suis mal exprimé, donc pour revenir au probleme:

la question 2, en remplacant par w dans P(X) on obtient bien P(w)=0, comme je l'ai montré dessus.
On peut donc dire que w est une racine du polynome.
Et comme w est une racine onzieme de l'unité, on peut également dire que toute les puissances suivantes de w sont aussi racine du polynome. à savoir w^k avec k allant de 1 à 10
Voilà pourquoi j'ai factorisé...

Pour revenir a la question 4:
Plus on a vu que P(1)=11
Hors la je ne comprends pas trop pourquoi on me demande de montrer que P(1)=((-1)^10)(2^10)(i^10)(e^ipi/11(1+2+3+...+10))sin(pi/11)sin(2pi/11)...sin(10pi/11)
Je ne vois pas trop comment arriver à cette solution... J'imagine qu'on doit developper notre polynome factorisé gràce au racine 11 ème de l'unité trouver... Mais ça risque de me donner un truc assez lourd et crade... N'y a t-il pas un moyen plus rapide?

[gg0]

comme w est une racine onzieme de l'unité, on peut également dire que toute les puissances suivantes de w sont aussi racine du polynome

Faux à priori. d'ailleurs parmi les puissances de w il y a 1.
Donc ceci est à traiter plus sérieusement.
La factorisation n'a aucun sens si on ne connaît pas la valeur de w. C'est lié à ce qui précède. C'est aussi ce qui permettra de faire la question 4

Mais ça risque de me donner un truc assez lourd et crade.

Donc tu n'as pas essayé !
Si tu refuses de te salir les mains, tu ne feras pas grand chose !!!
Fais ton travail au lieu de venir sur un forum en discuter. Tu perds ton temps.

Cordialement.

[invite0380ebeb]

Je ne suis pas venu ici, demander de l'aide abusivement. Je pensais avoir compris et je me rends finalement compte que je n'ai pas tout compris...
Quant au " ça risque de donner un truc lourd et crade" je dis ça par-ce que j'ai essayer à plusieurs reprise de développer la factorisation sans obtenir quelque chose de juste... Sans doute par ce que mon travail précédent était faux ou alors par ce que je n'ai pas vu de simplification...

Je recommence donc en essayant de mieux présenter les choses pour avoir de l'aide efficacement :

Q1: P(1)=11, ça je pense que c'est bon...
Q2: On me demande effectivement de remplacer X par w dans le polynome:
P(w)=1+w+w²+w³+...+w¹⁰

On reconnait une suite géométrique, on a effectivement 1+q+q²+...+qⁿ= (1-qⁿ⁺¹)/(1-q)
Il vient: 1+w+w²+w³+...+w¹⁰=(1-w¹¹)/(1-w)

Et comme w¹¹=1 on peut dire finalement que p(w)=0, donc w est bien une racine du polynome.

Q3: Du coup j'ai du mal à voir le truc ensuite... j'imagine qu'on a w=e^i2pi/11 et donc on aura comme premier élément de factorisation (X-w)Q(x) avec Q(x) le reste du polynome... Voilà.. Pourriez vous m'expliquer la "mécanique" au moins... Je viens seulement d'attaquer les racine n-ième et j'ai un peu de mal.

Merci d'avance

[invite0380ebeb]

J'imagine aussi que la factorisation totale du polynome va donner :
(X-e^i2pi/11)(X-e^i4pi/11)(X-e^i6pi/11)(X-e^i8pi/11)(X-e^i10pi/11)(X-e^i12pi/11)(X-e^i14pi/11)(X-e^i16pi/11)(X-e^i18pi/11)(X-e^i20pi/11)Q(X), avec Q(X) = 1 puisqu'on à bien chaque membre ayant pour degré max=1 pour coeff dominant 1, comme les degrés sont additif et que les coefficiant sont multiplicatif, il vient que Q(X)=1:
On a donc bien P(X)=(X-e^i2pi/11)(X-e^i4pi/11)(X-e^i6pi/11)(X-e^i8pi/11)(X-e^i10pi/11)(X-e^i12pi/11)(X-e^i14pi/11)(X-e^i16pi/11)(X-e^i18pi/11)(X-e^i20pi/11)

Ensuite en question 4 on me demande de rappeler la valeur de P(1) à savoir P(1)=11

Et de montrer que P(1) peut alors s'écrire :

P(1)=(-1¹⁰)(2¹⁰)(i¹⁰)(e^{ipi/11(1+2+3+...+10)})sin(pi/11)sin(2pi/11)...sin(10pi/11)


J'ai remarqué qu'on avait une suite 1+2+3...+10 qu'on peut aussi écrire (n(n+1))/2 dont on peut peut-être se servir et un ensemble de couple complexe/conjugués dans ma factorisation, est-ce une bonne voie pour arriver au résultat?

Merci d'avance !

[gg0]

ça dérape déjà ici :

j'imagine qu'on a w=e^i2pi/11

Il n'y a aucune raison, w est une racine de l'unité différente de 1. Mais justement, c'est n'importe laquelle donc ...
Et tu auras ta factorisation, avec évidemment des conjugués (sauf pour une des racines) et donc des simplifications possibles.
pour l'instant, tu n'as toujours pas calculé P(1) en utilisant la question 3