Bonjour, je suis bloqué dans un DM de math, j'aurais besoin d'aide svp...
Racine n-ème de l'unité, sauf 1.
Soit le polynome: P(X)= 1+X+X2+X3+...+X9+X10
1. Est ce que 1 est Racine de P(X)?
De toute évidence non, car P(1)=11
2. Soit w une racine 11ème de l'unité différente de 1. Combien vaut P(w)?
Bon bah on remplace on trouve : p(w)=1+w+w2+w3+...+w9+w10
On a donc 10 racine distinctes de P(X) à savoir:w, w2, w3,...,w10
3.Factoriser P(X):
Donc comme j'ai mes racines du polynome je peux factoriser:
(X-w1)(X-w2)...(X-w10)Q(X) J'ai donc mon polynome qui est factorisé avec mes différentes racine 11ème de l'unité, avec Q(X)=1
donc on a bien : (X-w1)(X-w2)...(X-w10)= 1+X+X2+X3+...+X9+X10
4.Rappeler la valeur de P(1). En exploitant la factorisation trouver au 3. montrer qu'on a également:
P(1)=((-1)^10)(2^10)(i^10)(e^ipi/11(1+2+3+...+10))sin(pi/11)sin(2pi/11)...sin(10pi/11)
Voilà, je suis un peu bloqué sur la 4. Pourriez vous m'apporter un peu d'aide rapidement?Et me dire si les questions 1,2 et 3 sont bien traitées et comprises
Merci d'avance !
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