Continuité uniforme

[invite0ad54afb]

bonsoir est-il possible de me fournir une indication pour résoudre cet exercice
soit f une fonction uniformément continue sur [0,+oo] . montrez qu'il existe a dans IR* et b dans IR tel que pour tout x de [0,+oo]
|f(x)|< ax+b
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[gg0]

Bonjour.

On applique la définition de la continuité uniforme. Puis on écrit que
f(x)=f(x)-f(x-a)+f(x-a)-f(x-2a)+f(x-2a)-f(x-3a)+ ... +f(a)-f(0)
où a est "bien choisi". Puis
|f(x)|<=|f(x)-f(x-a)|+|f(x-a)-f(x-2a)|+|f(x-2a)-f(x-3a)|+ ... +|f(a)-f(0)|

Je te laisse peaufiner les détails.

Cordialement.


NB : Pas d'autre indication si tu ne démarres pas.

[invite0ad54afb]

Merci pour l'indication
je pense qu'il vous manque un +f(0) vers la fin
bon on choisis a tel que |a|<
je pense que je vais proceder de cette maniere
|f(x)|<=|f(x)-f(x-a)|+|f(x-a)-f(x-2a)|+|f(x-2a)-f(x-3a)|+ ... +|f(a)-f(0)| +f(0)
implique que
|f(x)|<= + f(0) tel que m=E(x/a) (je me demande de la possibilité de choisire qui verifie aussi x=m*a avec m entier naturel)
puisqu'on travaille avec un epsilon quelconque on pose =a*x/m et on pose f(0)=b d'ou le resultat ?

[gg0]

Effectivement,

il manque un terme qui est plutôt |f(0)|. Et le choix de a est à préciser, pour qu'on n'ai pas de problème avec la propriété de la continuité uniforme. C'est d'ailleurs ainsi qu'on arrivera à terminer
Pour la suite, la rédaction est à faire soigneusement pour passer de m à x. C'est un bon exercice de chercher à faire cette rédaction irréprochable.
Rappel : Tu peux toujours majorer ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]