Continuité uniforme

[invite5e148d1e]

bonjour,
Pourriez vous bien m'expliquer la continuité uniforme des fonctions réelles? j'ai du mal a comprendre cette notion :s
Merci d'avance
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[Mocassins]

Bonjour, voici la définition de l'uniforme continuité d'une fonction réelle:

est dite uniformément continue sur si:

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tandis que celle de la continuité globale se définit en plaçant la partie en tout début de phrase

Cela signifie que si on se donne un écart , on peut trouver une petite distance telle que tous les éléments de quelle que soit leur place dans auront des images distantes de moins de dès qu'ils seront distincts de moins de .
C'est comme si la fonction était continue de la même manière sur tout son ensemble de définition.


Par exemple la fonction carré de dans est continue mais pas uniformément continue car si on se donne (quelconque, mais il suffirait d'en trouver un), alors quel que soit , des réels et
très grands et distants de auront des images très éloignées.
( donc pour fixé en choisissant suffisamment grand en valeur absolue on obtient .)
L'identité est uniformément continue, sinus et cosinus aussi, arctangente aussi, ln aussi sur par ex.
A mon avis si tu veux comprendre exerce-toi à le démontrer et essaie de voir quand le dessin te permet de l'intuiter.


Le fait d'être uniformément continu n'est pas directement lié pour les fonctions dérivables au fait d'avoir une dérivée bornée, en effet la fonction sur est uniformément continue mais sa dérivée tend vers en zéro.

En fait le théorème de Heine impose à toute fonction continue définie sur un segment d'être uniformément continue sur ce segment.

[Tiky]

Non la définition de la continuité est :

Ce n'est pas la même chose que :


La dernière est vraie pour toutes les fonctions.

[Mocassins]

Oula effectivement!
Malheureusement je ne peux plus corriger; comme quoi il vaut mieux réfléchir avant d'écrire.

[A voir en vidéo sur Futura]