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Uniforme continuité



  1. #1
    Snowey

    Uniforme continuité


    ------

    Bonjour, j'essaie de résoudre cet exercice d'uniforme continuité:

    Montrer que si f est une fonction u.c sur un intervalle borné I , alors f(I) est borné.

    j'aimerais essayer une méthode directe, voilà mes idées.

    Si I est un segment, le théorème de Weierstrass permet de conclure immédiatement.
    Sinon, on considère (les autres cas en découlent)

    J'utilise cette traduction de l'uniforme continuité: , mais peut être que la vraie est mieux ?

    J'aimerais montrer que f admet une limite finie en b (resp. a). Si on y arrive, on aura alors quasiment immédiatement le résultat.
    Soit .
    En particulier, on a .
    Mais je n'arrive pas à aller plus loin

    J'espère que vous pourrez m'aider

    -----
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  4. #2
    Tryss

    Re : Uniforme continuité

    Une façon de faire, qui n'a d'ailleurs pas besoin que le domaine de définition soit un intervalle, juste borné :

    Si f est uniformément continue sur I, alors :



    I est borné par hypothèse, alors

    Soit Alors

    Donc par uniforme continuité,

    Ainsi

    Un petit coup d'inégalité triangulaire et de somme télescopique, et on a :



    Cette majoration ne dépend pas de x et y, f est donc bornée.

  5. #3
    God's Breath

    Re : Uniforme continuité

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Une façon de faire, qui n'a d'ailleurs pas besoin que le domaine de définition soit un intervalle
    Euh... comment assurer, si I n'est pas un intervalle, que les points xk appartiennent à I ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. #4
    Tryss

    Re : Uniforme continuité

    Euh... comment assurer, si I n'est pas un intervalle, que les points xk appartiennent à I ?
    Exact, on ne peut pas -_-'

    On va dire que cette démo marche pour tout convexe borné (donc si on est dans R ce sont effectivement les intervalles bornés). Dans ce cas (et en considérant la norme à la place de la valeur absolue), et si je ne raconte pas de bêtises, la démo est valable pour tout les espaces vectoriels normés.


    Ceci dit, si I n'est pas convexe (donc pas un intervalle ici dans le cas de R), on peut découper (avec et du dessus) en n-1 morceaux

    Sur chaque morceau f est bornée si elle est définie :
    si , il existe , et on a alors , ainsi
    Comme les sont en nombre fini, f est bornée sur I.

    Cette démo ne marche que si l'espace vectoriel est de dimension finie (il faut que la boule qui contient I soit pre-compacte pour pouvoir la reecouvrir d'un nombre fini de boules de taille ).
    Dernière modification par Tryss ; 29/02/2012 à 09h17.

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