Uniforme continuité

[Snowey]

Bonjour, j'essaie de résoudre cet exercice d'uniforme continuité:

Montrer que si f est une fonction u.c sur un intervalle borné I , alors f(I) est borné.

j'aimerais essayer une méthode directe, voilà mes idées.

Si I est un segment, le théorème de Weierstrass permet de conclure immédiatement.
Sinon, on considère (les autres cas en découlent)

J'utilise cette traduction de l'uniforme continuité: , mais peut être que la vraie est mieux ?

J'aimerais montrer que f admet une limite finie en b (resp. a). Si on y arrive, on aura alors quasiment immédiatement le résultat.
Soit .
En particulier, on a .
Mais je n'arrive pas à aller plus loin

J'espère que vous pourrez m'aider
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[Tryss]

Une façon de faire, qui n'a d'ailleurs pas besoin que le domaine de définition soit un intervalle, juste borné :

Si f est uniformément continue sur I, alors :



I est borné par hypothèse, alors

Soit Alors

Donc par uniforme continuité,

Ainsi

Un petit coup d'inégalité triangulaire et de somme télescopique, et on a :



Cette majoration ne dépend pas de x et y, f est donc bornée.

[God's Breath]

Une façon de faire, qui n'a d'ailleurs pas besoin que le domaine de définition soit un intervalle

Euh... comment assurer, si I n'est pas un intervalle, que les points x_k appartiennent à I ?

[Tryss]

Euh... comment assurer, si I n'est pas un intervalle, que les points xk appartiennent à I ?

Exact, on ne peut pas -_-'

On va dire que cette démo marche pour tout convexe borné (donc si on est dans R ce sont effectivement les intervalles bornés). Dans ce cas (et en considérant la norme à la place de la valeur absolue), et si je ne raconte pas de bêtises, la démo est valable pour tout les espaces vectoriels normés.


Ceci dit, si I n'est pas convexe (donc pas un intervalle ici dans le cas de R), on peut découper (avec et du dessus) en n-1 morceaux

Sur chaque morceau f est bornée si elle est définie :
si , il existe , et on a alors , ainsi
Comme les sont en nombre fini, f est bornée sur I.

Cette démo ne marche que si l'espace vectoriel est de dimension finie (il faut que la boule qui contient I soit pre-compacte pour pouvoir la reecouvrir d'un nombre fini de boules de taille ).

[A voir en vidéo sur Futura]