Topologie 1

[invite7c2548ec]

bonsoir comment prouver par un simple exemple que l’ensemble des nombres rationnel est complet ?

merci d’avance.
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[inviteea028771]

1) on ne peut pas prouver quelque chose par un simple exemple.
2) l'ensemble des rationnels n'est pas complet

Pour un contre exemple, c'est simple : tu prends un nombre irrationnel entre 0 et 1, et la suite u_n définie comme les n premières décimales de son écriture décimale. Alors la suite est de Cauchy, mais ne converge pas dans Q (sinon le nombre de départ serrait rationnel)

[Seirios]

Bonjour,

Sans faire appel aux irrationnels, il existe plusieurs méthodes pour motnrer que n'est pas complet :

1) Un corps ordonné complet vérifie la propriété de la borne supérieure, et on peut montrer classiquement que n'a pas de borne supérieure dans .

2) Grâce à la méthode de Newton, on trouve que la suite ( et premier) est de Cauchy mais ne converge pas dans .

3) Grâce aux fractions continues, on trouve la suite ( et premier) qui est de Cauchy mais ne converge pas dans .

4) Le développement décimal d'un rationnel est périodique, donc il est facile de construire une suite de rationnels qui soit de Cauchy sans converger dans , par exemple : , , , , , etc.

5) Avec de la grosse artillerie, on peut également dire que le théorème de Baire empêche d'être complet.

Dans , les suites des points 2) et 3) convergent vers .

[invite7c2548ec]

bonjour merci pour Tryss ainsi que Sérios alors là je suis vraiment déboussolez et avant d'utilisez la grosse artillerie comme dise Sérios , faudra bien quand ce mettent tout les trois en accord sur le critère de complétude d'abord avant d’utiliser la suite de Cauchy ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il n'y a pas vraiment d'ambiguïté sur la notion de complétude : un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchy est convergente.

[inviteea028771]

Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy converge (c'est la définition). Donc pour montrer qu'un espace n'est pas complet, il suffit d'exhiber une suite de Cauchy qui ne converge pas.

C'est ce que j'ai fait, ainsi que Seirios dans ses méthodes 2), 3) et 4).


Les méthodes 1) et 5) de Serios sont indirectes. Il passe par la contraposée de propositions "classiques", en utilisant le principe :

Si un espace est complet, alors il vérifie la propriété A (théorème connu). Or l'espace qui nous intéresse ne vérifie pas la propriété A. Donc ça n'est pas un espace complet.

[invite7c2548ec]

Bonsoir c'est très bien expliquer pour Seirios aussi pour Tryss seulement une remarque :

Il n'y a pas vraiment d'ambiguïté sur la notion de complétude : un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchy est convergente.

Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy converge (c'est la définition). Donc pour montrer qu'un espace n'est pas complet, il suffit d'exhiber une suite de Cauchy qui ne converge pas.

C'est ce que j'ai fait, ainsi que Seirios dans ses méthodes 2), 3) et 4).


Les méthodes 1) et 5) de Serios sont indirectes. Il passe par la contraposée de propositions "classiques", en utilisant le principe :

Si un espace est complet, alors il vérifie la propriété A (théorème connu). Or l'espace qui nous intéresse ne vérifie pas la propriété A. Donc ça n'est pas un espace complet.

D’après la définition est suivant notre exemple nous sommes ici devant un ensemble et non un espace

Caractère complet : Un ensemble A de nombre reel est dit complet si toute suite de Cauchy le points de converge vert un points .
Là on est au moin d'accord sur la définition .

[invite7c2548ec]

merci pour vous deux Seirios et Tryss c'est très bien expliquer là je comprend mieux :

[invite8133ced9]

Salut.

Quand on fait de la topologie, "un espace" est un diminutif pour "un espace topologique". On ne donne pas tout le temps le nom de la structure sur un ensemble quand on dit que c'est un espace topologique, métrique, un groupe etc car parfois les structures sont usuelles.
Comme quand on dit que l'ensemble des réels est un corps. L'espace est l'espace dont la topologie est celle de la distance d(x,y) = |x - y|.

L'exemple 4) de Seiros semble très bien pour montrer simplement que n'est pas complet.

Sinon, la définition que tu proposes topmath n'a pas de sens dans un ensemble sans une certaine structure. La convergence est une notion topologique et la définition de suite de Cauchy que tu connais doit nécessiter l'existence d'une distance sur l'ensemble en question.

[inviteea028771]

"espace" est ici employé pour dire "ensemble muni d'une structure".

Parce que ta définition est en fait incomplète, puisque la complétude est une notion qui dépend de la métrique de l'espace:

]0,1] n'est pas complet pour la distance usuelle
]0,1] est complet pour la distance

[invite7c2548ec]

salut Mocassins on réponse à ce si :

Sinon, la définition que tu proposes topmath n'a pas de sens dans un ensemble sans une certaine structure. La convergence est une notion topologique et la définition de suite de Cauchy que tu connais doit nécessiter l'existence d'une distance sur l'ensemble en question.

moi je ne propose rien , je n'est ni les moyens ni la réputation mondial pour proposer cette définition , j'ajoute seulement que cette définition cité dans le message #7 est citer comme telle pour l'auteur SEYMOUR Lipschutz du livre TOPOLOGIE cours et problèmes page 58 de l'édition du Groupe McGraw-Hill à moin que l'auteur c'est tromper .

[invite8133ced9]

Si l'auteur ne précise pas le cadre c'est qu'il l'a fait avant ou qu'il suppose que parler de topologie et de structure uniforme pour des réels ou rationnels c'est implicitement choisir la topologie usuelle, celle de la valeur absolue de la différence.

Bref ce n'est pas important, tu ferais mieux de réfléchir à ce qu'ont dit Tryss et Seirios (dont j'ai écorché le pseudo tout à l'heure, pardon).

[invite7c2548ec]

Bonsoir tout à fait avec vous Mocassins et puits d'abord j'ai pas mis en cause la repense de Seirios ni celle de Tryss et dans ce cas j'ai même pas besoin de réfléchir par ce que leur repense est juste encore riche seulement l'auteur à donner l'exemple en utilisant les nombres irrationnelles le cas de puits l'auteur c'est t'engager de débuter le cours par la topologie de la droite réelle merci encore une fois Mocassins.