Application Antisymetrique

[invite588a8b70]

salut à tous!
On a commencé le cours de mécanique du solide avec une introduction mathématique en définissant une application antisymétrique comme étant définie sur un espace vectoriel tq:
on a
ensuite on nous met une proposition qui dit que si f est une app antisymétrique, alors il existe une vecteur unique de E tel que:
avec
Et c'est là ou je me suis bloquée en essayant démontrer cette proposition à partir de la définition et je ne vois plus comment y commencer
Si qlq'un peut me donner un indice... Et mercii d'avance
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[Seirios]

Bonjour,

Que veux-tu dire en notant ? Est-ce un produit scalaire ? Ou autre chose ?

[invite588a8b70]

Bonjour Seirios ,
oui en faite c'est un produit scalaire

[GrisBleu]

Bonjour
Tentative de demo
1) En dimension 3, le polynome caracteristique de f est de degre 3, il y a donc (au moins) une racine reelle.
Si l est une valeur propre, et R un vecteur propre, alors f(R)=l R et R.f(R) = 0 par definition. Donc, l=0.
Au final, il existe donc une base orthonormale telle que la matrice de f soit

0 0 0
0 a b
0 c d

2) Pour une base orthonormale ei et inversement,
Au final,dans la matrice precedente, a=d=0 et b=-c, il existe donc une base orthonormale telle que la matrice de f soit

0 0 0
0 0 b
0 -b 0

3) si b=0, f est nulle. sinon, on considere f'=f/b, il existe donc une base orthonormale telle que la matrice de f soit

0 0 0
0 0 1
0 -1 0

f' est donc une rotation d'angle 90, et comme f'(R)=0, c'est une rotation de 90 degres selon l'axe defini par la droite definie par R : il existe n sur cette droite, unitaire, tel que f'(v)=n^v et donc f=(bn)^v
Il existe donc R tel que f(v)=R^v

J'espere ne pas m'etre trompe
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[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

L'énoncé semble vouloir le faire démontrer pour E espace vectoriel quelconque...

Déjà le produit scalaire n'est défini que dans le cas des espaces vectoriels euclidiens

Ensuite, le produit vectoriel (a deux vecteurs) n'est me semble t'il défini qu'en dimension 3 et 7.

Donc la propriété telle que demandée est fausse : il existe des espaces euclidiens tels qu'une telle application ne s'écrive pas R^u

[Médiat]

Ensuite, le produit vectoriel (a deux vecteurs) n'est me semble t'il défini qu'en dimension 3 et 7.

Et aussi en dimension 0 et 1

[Seirios]

Il doit également y avoir une condition de linéarité sur f quelque part.

[GrisBleu]

Comme c'est de la meca du solide, c'est surement l'espace R3 avec son produit scalaire usuel
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