Bonjour à tous,

J'essais de présenter de manière algébrique où sont intervenues les "séries" de Fourier (pour la première fois en algèbre). Pour cela, on note G le groupe Z/nZ, et celui des caractères de dimension 1 de G (ie les morphismes de groupe G vers C*). On montre que tout élément de s'écrit où



Ensuite on prouve la proposition générale qui dit que l'application définie par

,

pour deux applications de G à valeur dans C, est un produit scalire hermitien. Enfin, en utilisant l'orthogonalité des caractères, on montre que est une base de l'espace vectoriel de dimension |G| des applications de G à valeur complexe.

On obtient alors pour toute application f, 1-périodique (en considérant g(x mod n) = f(x/n)),




Chacuns des termes de la somme précédente est une somme de Riemann, et donc lorsque $n$ tend vers l'infini, on obtient une intégrale qui fait apparaître les coefficients de Fourier. Mon problème est de justifier en quoi la suite obtenue à l'aide de l'algèbre s'étend bien en passant à la limite ?

Pour simplifier j'ai supposé f de classe C^2, et ainsi, je pensais en utilisant la formule de Taylor (avec reste intégrale) que je pourrais obtenir une majoration "simple" de la quatité



Remarque : en supposant f de classe C^2, et en faisant 2 intégrations par parties, on montre que
, est bien le terme général d'une série absolument convergente.

Auriez-vous des conseils, pour majorer ce reste ?

Cordialement,

Suite2