Dimension espace d'arrivée et image d'une base

[invitebc6f2a79]

Bonjour à tous

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur l'affirmation suivante:

Pour un endomorphisme g, dim(Im(g))=dim(A) (avec A espace d'arrivée) est équivalent à dire que la famille {g(e1),g(e2),...g(en)} est liée (avec (e1,...,en) base canonique).

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invited9b9018b]

Bonsoir,
parler de base canonique d'un espace vectoriel n'a pas beaucoup de sens à mon avis.
de plus {g(e1),g(e2),...g(en)} est un ensemble et ne risque pas d'être lié. En revanche, (g(e1),g(e2),...g(en)) est une famille.

Sinon :
Dans le sens aller :
Si , alors et pourtant est une base donc pas liée. Donc l'implication est fausse.

Dans le sens retour :
Si g = 0, est liée. Et si dim(A) > 0, alors puisque dim(Im(g)) = 0, dim(A) != dim(Im(g)). La réciproque est fausse aussi.

D'où sors cette phrase ?!

A+