Chemins homotopes et indices

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

J'aurai une question sur un point de cours que je ne comprends pas, mais d'abord je préfère signaler que mon cours porte sur les fonctions analytiques et que la seule définition d'homotopie que j'ai est celle que je vais vous donner (et que je ne comprends pas).

Donc je risque de ne pas vous comprendre si vous me donnez des explications trop "matheuses" (je suis en L3 de physique).

Voici la définition d'homotopie donnée :

Soit "Omega" ouvert inclus dans C (les complexes).
Soit "Gamma" un cycle dans "Omega"

On dit que Gamma est homotope à un point dans Omega si Ind(Gamma,z)=0 pour tout z appartenant à C \ Omega (C privé de Omega).

Ce que je ne comprends pas c'est que puisque z n'appartient pas à Omega, forcément l'indice sera nul pour tout Gamma vu que Gamma est DANS omega...

L'indice mesurant le nombre de tour autour de z, si z n'est pas dans les contours, alors l'indice est forcément nul.

En gros ce n'est pas vraiment une définition vu que pour n'importe quel gamma dans Omega la proposition sera vérifiée.

Pourriez vous me dire où je me trompe ?

Merci !

(Encore une fois, les deux seules notions que j'ai sont les notions d'indice, juste la définition de ce dernier et sa signification "physique" et la définition de l'homotope donnée ci dessus).

Bonne journée !
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Prend \Omega=C privé de 0, et Gamma le cercle unité standard.
Quel est l'indice de Gamma pour 0?

[invite8f6d0dd4]

C'est 1 et donc différent de 0.

Ok j'ai compris ce que je n'avais pas compris.

"Dans ma tête", je prenais des ouverts de la forme de boules centrées en 0, mais un ouvert peut très bien avoir un trou au milieu.

Merci

Une dernière question, du coup un CYCLE homotope signifie que chaque chemin fermé de ce cycle peut être déformé continûment en un point (on a pas fait la théorie des déformations continues, mais on nous l'a expliqué avec les mains) ?

Aussi, si Gamma 1 et Gamma 2 sont homotopes, on a donc (Gamma 1) Union ( - Gamma2) homotope à un point.

Ça signifie qu'on peut passer continûment de Gamma 1 à Gamma 2 ?

Et dire qu'on peut transformer continûment un chemin ça veut dire qu'il n'y a pas de trou au milieu de l'espace qui pourrait poser problème ?
En pratique si j'ai aucun trou dans mon espace où est situé mon chemin je peux toujours le déformer continûment ?

Merci.

[invite47ecce17]

Une dernière question, du coup un CYCLE homotope signifie que chaque chemin fermé de ce cycle peut être déformé continûment en un point (on a pas fait la théorie des déformations continues, mais on nous l'a expliqué avec les mains) ?

Aussi, si Gamma 1 et Gamma 2 sont homotopes, on a donc (Gamma 1) Union ( - Gamma2) homotope à un point.

Ça signifie qu'on peut passer continûment de Gamma 1 à Gamma 2 ?

C'est essentiellement ca oui.

Et dire qu'on peut transformer continûment un chemin ça veut dire qu'il n'y a pas de trou au milieu de l'espace qui pourrait poser problème ?
En pratique si j'ai aucun trou dans mon espace où est situé mon chemin je peux toujours le déformer continûment ?

Non, c'est un peu plus compliqué, deja parce que la notion de "trou" dans un espace n'est pas claire, et justement la theorie de l'homotopie y donne une signification.
UNe sphere a t elle un "trou" au milieu... je dirai volontier que oui, pourtant tout chemin dessus est homotope a un point.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Ok, merci !