bonjour,
je cherche a déterminer si les fonctions suivantes sont continues et/ou uniformément continues
1) ƒ:ℝ->ℝ, ƒ(x)=x³
2) ƒ:[0,1]->ℝ, ƒ(x)=x³
3) ƒ:[1,+∞[->ℝ, ƒ(x)=√(x)
je sais que toutes ces fonctions sont continues du fait qu'elles sont des fonctions polynômes, mais il va falloir que je le démontrer en utilisant la définition de la continuité, du coup je sais pas vraiment comment faire
merci de votre aide!
On peut regarder le premier exemple : quelle est la définition de la continuité d'une fonction en un point x?
la definition d'une fonction continue f en un point a est la suivant :
soit a∈ℝ
∀ε>0, ∃η>0, ∀ x∈ℝ
|x-a|≼η => |f(x)-f(a)|≼ε
donc je sais pas quoi prendre pour η
Réécrit que x = a+h, et explicite alors f(x)-f(a) (n'hésite pas à développer)Envoyé par Masterclock
alors j'ai
|f(x)-f(a)|=|x3-a3|=|x-a||x²+ax+a²|
j'ai |x-a|≼η => -η ≼x-a≼η
apres je sais plus quoi faire
1/ t'as toutes les chances que ce truc ne soit pas uniformément continue. la dérivée explose à l'infini, donc probablement se démontre par l'absurde en utilisant le théorème d'acroissement finis.
2/ une fonction continue sur un compact, est uniformément continue. sinon fais comme 3.
3/ la dérivée de cette fonction est bornée sur [1, infty [, cette fois l'ingégalité des accroissement finis va te donner l'uniforme continuité.
