Une question de limites

[invited2c73cb1]

Bonjour,

Je m'adresse à vous pour savoir si mes résultats sont justes. Si cela n'est pas le cas, je chercherai encore et je vous tiendrais au courant de l’avancement du travail.

Pour la 5), je trouve une expression de :

Tn(θ) = (1/2) + 1/((2(n+1)(exp(iθ)-1)) * (cos(nθ)+isin(nθ))*exp(iθ) - 1/((2(n+1)(exp(iθ)-1))

-Lorsque n tend vers +INF :

=> 1/((2(n+1)(exp(iθ)-1)) tend vers 0

=> 1/((2(n+1)(exp(iθ)-1)) tend vers 0

=> (cos(nθ)+isin(nθ))*exp(iθ) tend nul part, mais on sait que sin et cos sont compris entre -1 et 1. Et comme il s'agit ensuite d'un produit avec 0, je pense qu'on peut oublier la complexité du cas.

Conclusion : Tn(θ) tend vers 1/2



Question 6), j'ai arrangé l’expression de Tn(θ) pour me servir de lim(x tend vers 0) sin(x)/x = 1

Je trouve, en multipliant le second terme de Tn(θ) par θ au numérateur et dénominateur :

=> lim (θ tend vers 0) (sin((n+1)*θ*(1/2))/θ = (n+1)/2
=> lim (θ tend vers 0) (sin(θ*(1/2))/θ = 1/2

Au final je trouve que Tn(θ) tend vers 1.


Pour les deux dernières limites doubles, je trouve respectivement pour l'une est l'autre 1 et 1/2. Est-ce juste ?

Merci par avance.

Cordialement
-----

[invite621f0bb4]

Salut,

Pour la 5)comme il s'agit ensuite d'un produit avec 0, je pense qu'on peut oublier la complexité du cas.

Tu n'es t'es pas intéressé à la bonne suite, ici on s'intéresse à la suite des modules


Pour la 6) je verrais demain si personne ne s'en est occupé.

[invited2c73cb1]

Bonjour Samuel,

C'est vrai, je ne sais pas pourquoi j'ai occulté le module.

Donc pour la 5), je trouve :

Tn(θ)-(1/2) = [(exp(i*n*θ/2)*sin((n+1)*θ/2)] / [2*(n+1)*sin(θ/2)]

Si on prend le module de Tn(θ)-(1/2), on a :

|Tn(θ)-(1/2)|= [sin((n+1)*θ/2)] / [2*(n+1)*sin(θ/2)]

Or Lorsque n tend vers +INF :

=> 1/ [2*(n+1)*sin(θ/2)] tend vers 0

=> [sin((n+1)*θ/2)] est compris entre 1 et -1

Donc par produit, cela tend vers 0.

Est-ce bon ?

Cordialement

[invite621f0bb4]

Oui ça m'a l'air correct !

Et pour la 6 ça m'a l'air bon aussi !
Les limites doubles je ne connais pas trop mais ce que tu as fait m'a l'air bon aussi !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited2c73cb1]

D'accord, merci beaucoup Samuel pour tes réponses, c'est vraiment sympa.

Bonne continuation

Cordialement

PS: si quelqu'un par hasard trouve une erreur sur ce qui a été énoncé plus haut, n'hésitez pas à me le faire remarquer

[untruc]

c'est juste. tout ce que l'on veut que tu comprennes, est que l'on ne permute pas les limites n'importe comment, la preuve les résultats ne sont pas les mêmes.

[invited2c73cb1]

Bonjour untruc,

J'ai cependant un doute. Je me suis renseigné et j'ai vu qu'il existait un théorème de l'inversion des limites. Ce théorème dit en gros que normalement, mes deux doubles limites plus haut sont égales...

Cordialement

[Médiat]

Bonjour,

Les limites peuvent être interverties, sous condition de convergence uniforme.

Voir : http://uel.unisciel.fr/mathematiques...re_ch1_14.html

[untruc]

et donc, tu peux conclure, vu que tu connais ce théorème, qu'il n'y a pas de convergence uniforme pour les fonctions T_n(Theta).

[invited2c73cb1]

D'accord, merci pour ses informations.

Le seul souci est que théoriquement, je ne suis pas censé connaitre ce théorème :b

Bonne journée à tous

Cordialement

[Médiat]

C'est peut-être pour vous préparer à ce théorème en donnant un exemple où on ne peut pas intervertir les limites.

[invite621f0bb4]

D'ailleurs j'ai une question, comment calculer des limites doubles proprement ? Doit-on nécessairement utiliser des équivalents ?