Triangle numérique

[invite3fd2a3e0]

Bonjour, j'aimerais solliciter votre aide pour un exercice de mon dm de maths.
Voici le sujet:
On considère le triangle numérique où chaque nombre est obtenu en additionnant les deux nombres de la ligne supérieure entre lesquels il est placé. On appelle pointe d'ordre n le nombre écrit à la pointe (située en bas) du triangle obtenu en écrivant les nombres de 0 à n sur la première ligne.

1) Soit a_k avec k appartenant à N une suite de nombres. On construit le triangle numérique en mettant sur la première ligne le nombres a₀,a₁...et a_n
On notera x^(i)_j le j-ème nombre de la i-ème ligne de triangle (en commençant la numérotation à 0). Ainsi, x^(0)₀=a₀, x^(0)₁=a₁, x^(1)₀=a₀+a₁... et x^(n)₀ est le nombre inscrit à la pointe du triangle d'ordre n.
Montrer par récurrence que quelques soient n et j dans N, x^(n)_j = (k=0)∑(n) (k parmi n)*a_k+j
On veillera à formuler une hypothèse de récurrence très précise

2) Déduire de ce qui précède la pointe d'ordre n, pour tout n dans N.



Merci d'avance pour votre aide car je suis vraiment coincée, je ne vois pas par où commencer ma récurrence
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[invite9dc7b526]

Il n'y a pas vraiment besoin de faire de récurrence. Pour obtenir le nombre de la pointe, on doit sommer les nombres de la ligne 0. On peut condidérer que chaque nombre de la ligne 0 "descend" vers la pointe par un chemin qui à chaque étage choisit d'aller soit à gauche soit à droite. Pour le k-ième nombre, il faut pour atteindre la pointe que le chemin comporte exactement k choix gauches. Le nombre de ces chemins est le nombre de façons de choisir k objets parmi n : le coefficient binomial C(n,k). D'où le résultat.