Algèbre groupe

[jamesbogoss]

Bonjour,
J'ai un petit soucis de compréhension d'énoncé concernant un exercice de maths ce qui m'empêche forcément de répondre au question
on a une loi de composition sur ² tq
((x,y);(x',y')) appartneant à (R²)² , (x,y)*(x',y') = (x+x' , y^e(x')+y'^(e-x))
On a ensuite f : R-->R dérivable et graphe de f = {(x,f(x); x appartnenat à R}
On suppose que graphe f est une sous groupe de (R²,*)
Il fallait montrer que (²,*) est un groupe non commutatif, ce que j'ai réussi à faire.
Et que , f(x+y) = f(x)ey+f(y)e-x
Ca c'est chose faites toutefois pour ces deux dernières questions j'ai un petit bug je galère un peu, j'aimerais avoir de l'aide si possible
3) Montrer qu'il existe a tel que x, f'(x)-f(x) = ae-x
4) Déterminer les f: dérivables pour lesquelles f est un sous groupe de (²,*)

Merci par avance, je vous met l'exercice en piece jointes car sans les notations, c'est un peu incompréhensible à lire :
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[untruc]

2a/ suppose que Gamma_f est un groupe, alors f solution est solution de machin, donc f est forcément de la forme de "truc".
2b/ est ce que pour f comme "truc", Gamma_f est bien un groupe?

[Médiat]

A ma connaissance, c'est plutôt :

[jamesbogoss]

Mais en quoi la limite va t-elle nous permettre de résoudre l'équation, je vois vraiment pas là

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

En utilisant la relation de la question 2a, la limite donne la solution immédiatement.

[jamesbogoss]

Alors déjà j'aurais dis que la limite tend vers +infini personnellement donc je vois pas vraiment comment cela pourrait nous aider. Il y a le "a" aussi dans la formule qui me gène, je vois vraiment pas d'ou il sort et d'ou on pourrait le sortir celui là

[Médiat]

A vous de voir : je maintiens la formule que j'ai donnée dans le message #3.

Quant au "a", il suffit de faire le calcul que je vous ai indiqué pour qu'il apparaisse naturellement !

[jamesbogoss]

En faisant le calcul, je trouve que cette limite est égale
à (1/0)*f(x)
Avec (1/0) qui tend vers +infini

[Médiat]

Si vous postiez vos calculs, il serait possible de les commenter/corriger ...

[jamesbogoss]

Désolé en fait je trouve pas la fonctionnalité qui permet de mettre les bons symboles mathématiques, du coup c'est un peu brouillon
Alors
f'(x) = lim(y-->o) de (1/y)*(f(x+y)-f(x)
= (1/y)*[f(x)(e^y-1)]+f(y)e^-x
En remplacant y par 0 j'obtiens le résultat annoncé précédemment

PS: J'ai remplacé { f(x+y) par f(x)e^y+f(y)e^-x } car c'est une donnée qu'on nous donnait dans la question précédente de l'énoncé, j'ai pensé utile de pouvoir la réutiliser

[Médiat]

(1/y)*[f(x)(e^y-1)]+f(y)e^-x

Ce qui peut s'écrire (après correction de l'erreur de parenthèse) :
et tout se simplifie merveilleusement.

[Amanuensis]

Non, les deux formules diffèrent d'un y ou d'un parenthésage, selon. Erreur de frappe ou de calcul de l'élève?

De frappe, si on corrèle avec "à (1/0)*f(x) Avec (1/0) qui tend vers +infini" dans un message antérieur.

[jamesbogoss]

Salut Amanuensis, j'ai mis le pdf en pièce jointe mais il me semble que j'ai fait une erreur de recopie en mettant les parenthèses
Médiat, la limite de f(y)/y quand y tend vers 0, c'est à ce moment là qu'on introduit le réel a?

[Médiat]

A quoi est égal ?

Si vous avez une réponse à cette question qui permette d'affirmer que c'est bien un nombre réel, alors oui, on peut le noter "a" (ou ce que vous voulez )

En cliquant sur "Répondre avec citation", vous verrez comment introduire du code Latex qui fait de belles formules.

Attention : cet exercice nécessite une rédaction rigoureuse

[Amanuensis]

Annulé... Doublon

[jamesbogoss]

Haha je pense que vous avez remarqué que j'ai introduit ce "a" uniquement parceque c'est ce qu'on nous demande de trouver dans l'énoncé et que ça m'arrangeait un peu mais après si on prend la fonction x² par exemple ca tend vers 0
Si on prend la fonction racine(x) en tracant la courbe sur ma calculatrice je vois que ca tend vers 3,...
Donc intuitivement je dirais que = a

[Médiat]

Donc intuitivement je dirais que = a

Vous ne donnez aucune justification, dans l'énoncé a est un réel, comme je l'ai écrit dans mon message précédent, avant de pour écrire ce que vous avez écrit, il faut démontrer que cette limite est un réel.

J'ajoute que pour la fonction racine, si vous trouvez 3, c'est qu'en regardant une courbe, on ne peut déduire ce genre de résultat.

[jamesbogoss]

Autant pour moi ça tend vers +infini
On peut le justifier en disant que Gamma f est un sous groupe de (R²,*)
Et donc que y et f(y) sont deux réels et que le quotient de deux réels est lui même un réel.

[Médiat]

Et donc que y et f(y) sont deux réels et que le quotient de deux réels est lui même un réel.

Quand j'écrivais que cet exercice demande une rédaction rigoureuse, je ne pensais pas avoir autant raison

Ce n'est pas f(y)/y qui est en cause, mais la limite SI ELLE EXISTE !

J'aimerais bien voir votre rédaction complète ...

(Et oui, pour la racine cela tend vers l'infini, et pourtant c'est un réel divisé par un réel ...)

[jamesbogoss]

Haha désolé je suis encore un peu brouillon lol,
Je vais prendre soin de rédiger tout ça et je vous le poste sur le forum

Pour ce qui est de la question 2b) il suffit maintenant de trouver les applications pour lesquelles :
f(0) = 0
f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^-x
Et f'(x)-f(x)=ae^-x
?

[Médiat]

Je ferais plutôt :

1. Résoudre f(0) = 0 et f'(x)-f(x)=ae^-x
2. Vérifier que c'est bien un sous-groupe (les démonstrations précédentes sont des implications, pas des équivalences)

Pour information : dans quel cadre devez-vous faire cet exercice ?

[jamesbogoss]

Résoudre f(0)=0 c'est quand même assez bizarre comme équation sachant qu'on a pas vraiment d'inconnu ici
C'est un exercice d'initiation aux structures algébriques, chapitre qu'on a commencé juste avant les vacances, mais j'avoue que j'ai vraiment du mal, surtout que c'est la premiere fois que j'entend parler de fonction dans un groupe, ça m'embrouille un peu tout ça, c'est totalement inhabituel par rapport aux notations qu'on a eu l'habitude d'employer jusqu'ici

[Médiat]

Résoudre f(0)=0 c'est quand même assez bizarre comme équation sachant qu'on a pas vraiment d'inconnu ici

Mais si l'inconnue, c'est f.

C'est un exercice d'initiation aux structures algébriques

Dans quel cursus ?

[jamesbogoss]

Pour l'équation f(0)=0 on a une infinité de solutions possible non déja tous les f : x--->x^n
Je suis en MPSI

[untruc]

1- peux tu calculer f(0) à partir de la formule la formule f(x+y)=
2- Connaissant cela, que represente alors lim f(y)/y, quand y->0, et pourquoi cette limite existe.
3- conclure en utilisant l'expression f'(x)= lim sur la forme genérale de f. Et reinterpreter le a.

[Médiat]

Je ré-écris mon 1) sous une autre forme :




En MPSI, toute imprécision dans la rédaction, peut (devrait) vous couter la totalité des points d'une question.

[jamesbogoss]

1- peux tu calculer f(0) à partir de la formule la formule f(x+y).

En prenant x+y=0
On peut dire que :
f(0)=f(-y)e^-x +f(-x)e^y

Je ré-écris mon 1) sous une autre forme :




En MPSI, toute imprécision dans la rédaction, peut (devrait) vous couter la totalité des points d'une question.

En effet, j'en ai un peu fait les frais cette année pour mes DS et DM, la rédaction m'a couté beaucoup de points!

Si f(0) = 0
Dans la deuxième équation en prenant f(0)
On obtient : f'(0) = ae^-x
Donc la dérivé en est égal à ce résultat, et à partir de là il faut trouver les fonctions qui vérifient ça?

[Médiat]

Trois choses :

1) Je n'ai pas vu la justification de l'existence de "a".
2) Ce que vous avez à résoudre, c'est une équation différentielle avec condition initiale, celle de mes messages 21 et 26
3) "f'(0) = ae^-x" est clairement faux.

[jamesbogoss]

L'existence du a c'est un peu ce qu'on a dit tout à l'heure sans que je l'ai forcément bien rédigé non?
Ah équation différentielle, en fait on en a jamais parlé mais le prof nous avait dit que bon nombre de notion dans cet exercice n'ont pas été abordées en classe, du coup je viens de trouver une vidéo sur youtube avec le cours des équations différentielles, je vais essayer de voir ce que c'est tout d'abord, mais en fait le fait que l'inconnue soit une "fonction" a beaucoup plus de sens pour moi maintenant lol

[Médiat]

L'existence du a c'est un peu ce qu'on a dit tout à l'heure sans que je l'ai forcément bien rédigé non?

A part l'affirmation fausse que la limite d'un quotient de réels était un réel, je n'ai rien vu.

Résoudre cela sans cours sur les équations différentielles : je ne vois pas comment faire