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Equation fonctionelle



  1. #1
    HarryScooter

    Equation fonctionelle


    ------

    Bonsoir, voila ma question
    je travaille actuellement sur l'équation fonctionnelle F(a+b)=f(a)+f(b) a,b R . J'ai déjà montré que f(0)=0, que la fonction est impaire, que pour tout t rationnel et x réel f(tx)=tf(x). Maintenant je dois montrer que la fonction f est continue à droite en 0, puis continue en 0 en utilisant l'égalité f(tx)=tf(x) avec t= E(1/x) sauf que je ne vis pas du tout comment démontrer cela ( j'ai essayé d'encadrer la partie entière et de multiplier par f(x) mais j'aboutis à rien). Merci.

    -----

  2. #2
    indian58

    Re : Equation fonctionelle

    Citation Envoyé par HarryScooter Voir le message
    Bonsoir, voila ma question
    je travaille actuellement sur l'équation fonctionnelle F(a+b)=f(a)+f(b) a,b R . J'ai déjà montré que f(0)=0, que la fonction est impaire, que pour tout t rationnel et x réel f(tx)=tf(x). Maintenant je dois montrer que la fonction f est continue à droite en 0, puis continue en 0 en utilisant l'égalité f(tx)=tf(x) avec t= E(1/x) sauf que je ne vis pas du tout comment démontrer cela ( j'ai essayé d'encadrer la partie entière et de multiplier par f(x) mais j'aboutis à rien). Merci.
    Ecris les choses.

  3. #3
    untruc

    Re : Equation fonctionelle

    je me suis trompé
    Dernière modification par untruc ; 01/11/2014 à 17h25.

  4. #4
    HarryScooter

    Re : Equation fonctionelle

    f(0)=0: f(0)=f(0+0)=2f(0) soit f(0)=0.
    f impaire: on pose b=-a, f(a+b)=f(a-a)=f(a)+f(-a) soit -f(a)=f(-a).
    f(tx)=tf(x) : dans le cas où t est un entier naturel on applique la relation à différents couples , f(t)=tf(1) (démontré par récurrence) donc en généralisant f(tx)=tf(x)
    même chose pour les entiers négatif car f impaire.
    dans le cas où t est un relatif on pose t=p/q f((p/q)*x)=p*f((1/q*)x)=(p/q)f(x)=tf(x) donc égalité vraie pour tout rationnel

    Pour t=E(1/x), j'ai essayer d'encadrer la partie entière : 1/x -1 < E(1/x) < 1/x , la partie entière était un entier et on a vu que pour un entier on a f(tx)=tf(1) donc reprendre l'encadrement et multiplier par f(1) puis faire la limite quand x tend vers 0 sauf que je trouve pas f(0) donc je ne peux pas conclure que f est continue à droite en 0.
    je sais qu'après cela je devrais utiliser l'imparité de f pour dire que f est continue en 0 à gauche et à droite.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    untruc

    Re : Equation fonctionelle

    c'est comme tu as écris dans ton premier post, f(tx)= t f(x), et non pas t f(1)

    en fait comme f(x)= f(tx)/t = f(1)/t - f(1-tx)/t , et que 1-tx converge vers 0 quand x converge vers 0
    je me rend compte que si "f borné au voisinage de 0", forcément f est continue en 0

    donc la question est pourquoi f resterait bornée au voisinage de 0?

  7. #6
    HarryScooter

    Re : Equation fonctionelle

    Je n'ai pas du tout compris ton calcul, tu as fait une décomposition ? dans ce cas quel est le rapport avec la partie entière de 1/x ? de plus 1- tx ne tend pas vers 1 ququand x tend vers 0?

  8. #7
    untruc

    Re : Equation fonctionelle

    par additivité j'ai:
    f(tx) + f(1-tx) = f(1)
    donc
    f(x)= f(tx)/t = f(1)/t + f(1-tx)/t

    (1-tx) converge vers 0. c'est tx qui converge vers 1

    J'ai dis j'ai envie d'avoir f bornée au voisinage de 0. Pour que la limite de "f(1)/t + f(1-tx)/t " soient 0, car si x converge vers 0, E(1/x)=t converge vers infini.

  9. #8
    HarryScooter

    Re : Equation fonctionelle

    D'accord merci, du coup pour avoir x bornée au voisinage de 0, il faut trouver un M pour que |f|<M soit vraie au voisinage de 0 et pour montrer ensuite c'est continue en 0..j'ai oublié de préciser que la fonction était bornée sur [-1,1] du coup f est-elle bornée au voisinage de 0 dans ce cas-là ?

  10. #9
    untruc

    Re : Equation fonctionelle

    faut l’écrire dès le début. C'est pas sérieux.
    Bien sur, si elle est bornée sur [0, 1], le f(1-tx) est borné, donc, le raisonnement est terminé!

    Probablement sans un minimum de condition, on peut fabriquer un truc bien sale, qui est additif mais pas linéaire.

  11. #10
    HarryScooter

    Re : Equation fonctionelle

    Merci pour ces explications !Sorry, la prochaine fois j'écrirais tout ^^

  12. #11
    Tryss

    Re : Equation fonctionelle

    Citation Envoyé par untruc Voir le message
    Probablement sans un minimum de condition, on peut fabriquer un truc bien sale, qui est additif mais pas linéaire.
    Par exemple en prenant une base de R vu comme Q-ev : la plupart des fonctions linéaires (sur Q !) ne sont pas continues en 0. Par contre, si elles sont bornées sur la boule unité, elles sont continues en 0

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