Equation fonctionelle

[invite85e7f2ab]

Bonsoir, voila ma question
je travaille actuellement sur l'équation fonctionnelle F(a+b)=f(a)+f(b) a,b R . J'ai déjà montré que f(0)=0, que la fonction est impaire, que pour tout t rationnel et x réel f(tx)=tf(x). Maintenant je dois montrer que la fonction f est continue à droite en 0, puis continue en 0 en utilisant l'égalité f(tx)=tf(x) avec t= E(1/x) sauf que je ne vis pas du tout comment démontrer cela ( j'ai essayé d'encadrer la partie entière et de multiplier par f(x) mais j'aboutis à rien). Merci.
-----

[invited5b2473a]

Bonsoir, voila ma question
je travaille actuellement sur l'équation fonctionnelle F(a+b)=f(a)+f(b) a,b R . J'ai déjà montré que f(0)=0, que la fonction est impaire, que pour tout t rationnel et x réel f(tx)=tf(x). Maintenant je dois montrer que la fonction f est continue à droite en 0, puis continue en 0 en utilisant l'égalité f(tx)=tf(x) avec t= E(1/x) sauf que je ne vis pas du tout comment démontrer cela ( j'ai essayé d'encadrer la partie entière et de multiplier par f(x) mais j'aboutis à rien). Merci.

Ecris les choses.

[invite5805c432]

je me suis trompé

[invite85e7f2ab]

f(0)=0: f(0)=f(0+0)=2f(0) soit f(0)=0.
f impaire: on pose b=-a, f(a+b)=f(a-a)=f(a)+f(-a) soit -f(a)=f(-a).
f(tx)=tf(x) : dans le cas où t est un entier naturel on applique la relation à différents couples , f(t)=tf(1) (démontré par récurrence) donc en généralisant f(tx)=tf(x)
même chose pour les entiers négatif car f impaire.
dans le cas où t est un relatif on pose t=p/q f((p/q)*x)=p*f((1/q*)x)=(p/q)f(x)=tf(x) donc égalité vraie pour tout rationnel

Pour t=E(1/x), j'ai essayer d'encadrer la partie entière : 1/x -1 < E(1/x) < 1/x , la partie entière était un entier et on a vu que pour un entier on a f(tx)=tf(1) donc reprendre l'encadrement et multiplier par f(1) puis faire la limite quand x tend vers 0 sauf que je trouve pas f(0) donc je ne peux pas conclure que f est continue à droite en 0.
je sais qu'après cela je devrais utiliser l'imparité de f pour dire que f est continue en 0 à gauche et à droite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5805c432]

c'est comme tu as écris dans ton premier post, f(tx)= t f(x), et non pas t f(1)

en fait comme f(x)= f(tx)/t = f(1)/t - f(1-tx)/t , et que 1-tx converge vers 0 quand x converge vers 0
je me rend compte que si "f borné au voisinage de 0", forcément f est continue en 0

donc la question est pourquoi f resterait bornée au voisinage de 0?

[invite85e7f2ab]

Je n'ai pas du tout compris ton calcul, tu as fait une décomposition ? dans ce cas quel est le rapport avec la partie entière de 1/x ? de plus 1- tx ne tend pas vers 1 ququand x tend vers 0?

[invite5805c432]

par additivité j'ai:
f(tx) + f(1-tx) = f(1)
donc
f(x)= f(tx)/t = f(1)/t + f(1-tx)/t

(1-tx) converge vers 0. c'est tx qui converge vers 1

J'ai dis j'ai envie d'avoir f bornée au voisinage de 0. Pour que la limite de "f(1)/t + f(1-tx)/t " soient 0, car si x converge vers 0, E(1/x)=t converge vers infini.

[invite85e7f2ab]

D'accord merci, du coup pour avoir x bornée au voisinage de 0, il faut trouver un M pour que |f|<M soit vraie au voisinage de 0 et pour montrer ensuite c'est continue en 0..j'ai oublié de préciser que la fonction était bornée sur [-1,1] du coup f est-elle bornée au voisinage de 0 dans ce cas-là ?

[invite5805c432]

faut l’écrire dès le début. C'est pas sérieux.
Bien sur, si elle est bornée sur [0, 1], le f(1-tx) est borné, donc, le raisonnement est terminé!

Probablement sans un minimum de condition, on peut fabriquer un truc bien sale, qui est additif mais pas linéaire.

[invite85e7f2ab]

Merci pour ces explications !Sorry, la prochaine fois j'écrirais tout ^^

[inviteea028771]

Probablement sans un minimum de condition, on peut fabriquer un truc bien sale, qui est additif mais pas linéaire.

Par exemple en prenant une base de R vu comme Q-ev : la plupart des fonctions linéaires (sur Q !) ne sont pas continues en 0. Par contre, si elles sont bornées sur la boule unité, elles sont continues en 0