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equation fonctionelle de jensen



  1. #1
    oftentimes

    equation fonctionelle de jensen


    ------

    bonjour
    jai un exo sur léquation de jensen et je n'y arrive pas

    On note f une application de R -> R et continue sur R qui verifie
    pour tout (x,y) de R², f((x+y)/2) = (f(x)+f(y))/2

    1) si f(0)=f(1)=0, il fo montrer que f est 1/2 periodique

    2) montrer que f est bornee sur R , qu'elle atteint son max M en un point de [0,1/2] et que M <ou= à 0

    -----

  2. #2
    girdav

    Re : equation fonctionelle de jensen

    Salut,
    qu'as-tu tenté pour la question 1?

  3. #3
    Tryss

    Re : equation fonctionelle de jensen

    Pour la 1, on peut rappeller que pour montrer qu'elle est 1/2 periodique, il faut montrer que :

    f(x+1/2) = f(x) pour tout x

    Tu pars d'un bout de cette égalité, tu appliques la seule chose que tu sais sur ta fonction, et tu finis par arriver au résultat par simples égalités

  4. #4
    oftentimes

    Re : equation fonctionelle de jensen

    ah ok merci

    et pour la question 2?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    oftentimes

    Re : equation fonctionelle de jensen

    c'est montrer que M inférieur ou egal a 0 , je n'y arrive pas

  7. #6
    thepasboss

    Re : equation fonctionelle de jensen

    Bonsoir,

    tu sais que f est continue et périodique, de là que peut tu dire de la restriction de ta fonction à un intervalle de longueur la dite période ? Et qu'est se que cela t'apporte pour l'étude de f sur R tout entier ?

  8. #7
    oftentimes

    Re : equation fonctionelle de jensen

    oui elle attein son miniumum et son maximum sur tout intervale de longueur 1/2 mais commen montrer que le max est < ou = à 0 ??

  9. #8
    MMu

    Re : equation fonctionelle de jensen

    Évidemment . Soit la borne supérieure de . Il s'ensuit . A toi de conclure ...

  10. #9
    oftentimes

    Re : equation fonctionelle de jensen

    desole mai je ne vois pas en quoi ca donne que M < ou = 0

  11. #10
    Tryss

    Re : equation fonctionelle de jensen

    Bah tu sais que f(x) atteint son maximum pour x = a.

    Tu sais alors que M = f(a) = f(2a/2) <= f(a)/2 = M/2

    donc M <= 0

  12. #11
    oftentimes

    Re : equation fonctionelle de jensen

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    f(2a/2) <= f(a)/2
    pourquoi ?

  13. #12
    Tryss

    Re : equation fonctionelle de jensen

    Oups, petite erreur c'était

    f(2a/2) = f(2a)/2 <= M/2

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